2024-2025 学年吉林省延边二中高一（下）第一次段考 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知 = 1 ，则| | =( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 2.设 1 ， 2 为一组基底，已知向量 = 1 2 ， = 2 1 2 , = 3 1 3 2 ，若 ， ， 三点共线， 则实数 的值是( ) A. 2 B. 2 C. 45 D. 1 5 3.在△ 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，且 = 2, = 1, = 45°， =( ) A. 30° B. 30°或 150° C. 60° D. 60°或 120° 4.已知平面向量 ， 满足 ( + ) = 3，且| | = 2，| | = 1，则向量 与 的夹角为( ) A. B. C. 2 6 3 3 D. 5 6 5.已知| | = 2，向量 与向量 的夹角为 120°， 是与 同向的单位向量，则 在 上的投影向量为( ) A. B. 3 C. 3 D. 6.已知 ( 1,2)， (3,0)，点 在直线 上，且| | = 2| |，则点 的坐标为( ) A. ( 5 23 , 3 )或(7, 2) B. ( 5 , 23 3 ) C. (2,1)或(7, 2) D. (7,2) 7.△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 + = ，则△ 的形状是( ) A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 8.在△ 中， = 3 ， = 2 ， 是 的中点， 与 交于点 ，若 = + ，则 + =( ) A. 3 4 67 B. 7 C. 7 D. 1 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9 2.已知复数 = 1+ 3 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A.复数 的共轭复数的模为 1 B.复数 在复平面内对应的点在第一象限 C.复数 是方程 2 + + 1 = 0 的解 D. 3 = 1 10.若平面向量 = ( , 2)， = (1, 1)，其中 ， ∈ ，则下列说法正确的是( ) 第 1页，共 8页 A.若 2 + = (2,6)，则 / / B.若 = 2 2 2，则与 同向的单位向量为( 2 , 2 ) C. 1若 = 1，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为( 2 , + ∞) D.若 ⊥ ，则 = 2 + 4 的最小值为 4 11.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后 人称其为“赵爽弦图”.如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过 类比得到图 2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 ′ ′ ′拼成的一个大等边三角形 . 对于图 2.下列结论错误的是( ) A.这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B.若 ′ = 3, sin∠ = 5 3′ 14 ，则 ′ ′ = 2 C.若 = 2 ′ ′，则 ′ = 10 ′ D.若 ′是 ′的中点，则△ 的面积是△ ′ ′ ′面积的 5 倍 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知向量 = (1,2)， = (2, 2)， = (1, ).若 //(2 + )，则 = ． 13.如图，在海面上有两个观测点 ， ，点 在 的正北方向，距离为 2 ，在 某天 10：00 观察到某航船在 处，此时测得∠ = 45°，5 分钟后该船行驶 至 处，此时测得，∠ = 30°，∠ = 60°，∠ = 30°，则该船行驶的 距离为_____ ． 14.在锐角△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = + ，若 = 2 3，则 2 + 2的取值 范围是_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 2页，共 8页 15.(本小题 13 分) 已知复数 = ( 2 6 + 8) + ( 2) ( ∈ )． (1)若复数 为纯虚数，求实数 的值； (2)若复数 在复平面内对应点位于第二象限，求实数 的取值范围． 16.(本小题 15 分) 已知向量 和 ，则| | = 2，| | = 2， , = 60°求： (1) 的值； (2)|2 + |的值； (3)2 + 与 的夹角 的余弦值． 17.(本小题 15 分) △ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 sin( ) = ． (1)求 ； (2)若 = 2 3，△ 的面积为 2 3，求△ 的周长． 18.(本小题 17 分) 折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可 ... ...
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