2024-2025 学年云南省玉溪市峨山一中高一（下）3 月月考 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在△ 中，若 = 3 ， 为 上一点，且满足 = + 3 5 ( ∈ )，则 =( ) A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 2.如图所示，在正三角形 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则与向量 相等的向量是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3.若复数 是 2 + + 1 = 0 的根，则| | =( ) A. 2 B. 1 C. 2 D. 3 4.已知 ， 是两个不共线的单位向量，向量 = + ( , ∈ ).“ > 0，且 > 0”是“ ( + ) > 0” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在△ 中，若 2 = ， = 2 ，则 等于( ) A. 14 B. 3 4 C. 2 4 D. 2 3 6.若 是△ 内一点， + + = 0 ，则 是△ 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 7 1.若 ∈ ，且 +1是纯虚数，则| | =( ) A. 22 B. 1 C. 2 D. 2 8.已知 (0,1)， (3,5)，向量 = ， = ( , )，且 // ，则 等于( ) 第 1页，共 7页 A. 34 B. 3 4 C. 4 3 D. 4 3 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.化简以下各式，结果为 0 的有( ) A. + + B. + C. + + D. + + 10.如图，在平行四边形 中， ， 分别是 边上的两个三等分点，则 下列选项正确的有( ) A. = 1 3 B. = C. = + D. = 2 + 1 3 3 11.设非零向量 ， 满足( + ) ⊥ ( 1 2 )，| | = 2| |，则( ) A. / / B. ⊥ C. | + | = | | D. | + | > | | 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.如图，△ ，△ 都是边长为 1 的等边三角形， ， ， 三点共线， 则 = _____． 13.已知△ 的三边长分别为 = 7， = 5， = 6，则 的值为_____． 14.已知 、 、 为圆 上的三点，若 = + ，则 与 夹角的大小为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 + 3 = 0． (1)求角 ； (2)若点 满足 2 = ，且 = 1，求△ 的面积的最大值． 16.(本小题 15 分) 求实数 的值或取值范围，使得复数 = 2 + 2 + ( 2 1) 分别满足： (1) 是实数； 第 2页，共 7页 (2) 是纯虚数； (3) 在复平面中对应的点位于第三象限． 17.(本小题 15 分) 若定义一种运算：( , ) = + .已知 为复数，且(2, ) 4 = 6 4 ． (1)求复数 ； (2)设 ， 为实数，若( + , ) 12 (1,1) 为纯虚数，求 的最大值． 18.(本小题 17 分) 已知幂函数 ( ) = (3 2 2 ) ( ∈ )在定义域上不单调． (1)试问：函数 ( )是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若 ( + 1) + (2 3) < 0，求实数 的取值范围． 19.(本小题 17 分) 3 5 7 英国数学家泰勒发现了如下公式： = 3! + 5! 7! + …，其中 ! = 1 × 2 × 3 × 4 ×… × ，此公式有 广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式： 3 3 5 当 ∈ (0, 2 )时， < ， > 3! , < + 3! 5! …， (解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用) (1) 1证明：当 ∈ (0, 2 )时， > 2； (2)设 ( ) = 2 ，若区间[ , ]满足：当 ( )定义域为[ , ]时，值域也为[ , ]，则称区间[ , ]为 ( )的 “和谐区间”.试问 ( ) = 2 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 ( )的所有“和谐区间”，若不存 在，请说明理由． 第 3页，共 7页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.3 13. 19 14.120° 15. 第 4页，共 7页 16.解：(1)因为复数 = 2 + 2 + ( 2 1) 是实数，所以 2 1 = 0，所以 =± 1； 2 (2)因为复数 = 2 + 2 + ( 2 1) 是纯虚数 ... ...
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