6.2.2 课时2 函数的最值求法 课件（18张PPT）

(课件网) 6.2.2 课时2 函数的最值求法 人教B版(2019)选择性必修第三册 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值. 如图为定义在[a，b]上的函数f(x)的图象，函数f(x)在[a，b]上的极值在什么位置取到？ 极小值点是x1，x3，极大值点是x2 能否找出该区间的最值？ 最大值是f(b)，最小值是f(x3) 函数的最值 (1)一般地，如果函数y＝f (x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点； (2)如果函数y＝f (x)的定义域为[a，b] 且存在最值，函数y＝f (x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点． 讨论：函数的极值与最值的区别是什么？ 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的， 函数的极值可以有多个，但最值只能有一个； 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得； 有极值的未必有最值，有最值的未必有极值； 极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 注意：1.给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，尽管函数图象是连续的，那么它也不一定有最大值和最小值. 例如函数f(x)=在区间(0，2)上的图象是连续不断的曲线，但在该区间上， 函数f(x)既没有最大值，也没有最小值. 2.所给函数的图象必须是连续曲线，否则不一定有最值. 例如函数f(x)=在[-1，1]上只有最大值，而没有 最小值. 3.函数的最值是一个整体性概念，最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个，也可能没有. 4.极值只能在函数区间的内部取得，而最值可以在区间的端点取得，有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能是最值，最值只要不在端点处则一定是极值. 例1 求函数f(x)=x3-x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值. 解：f'(x)=3x2-x-2，令f'(x)=0，得x1=-，x2=1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表: x -2 (-2，-) - (-，1) 1 (1，2) 2 f'(x) + 0 - 0 + f(x) -1 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 7 通过比较，f(x)max=f(2)=7，f(x)min=f(-2)=-1. 方法归纳 求函数 y = f (x) 在区间 [a，b] 上的最值的步骤： 例2 已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 解：h(x)=x3+3x2-9x+1，h'(x)=3x2+6x-9. 令h'(x)=0，解得x1=-3，x2=1， 当x变化时，h'(x)及h(x)的变化情况如下表: x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗ 当x=-3时，h(x)取极大值28；当x=1时，h(x)取极小值-4. 而h(2)=30)，h(t)为f(x)的最小值. (1)求h(t); (2)若h(t)<-2t+m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围. 解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R，t>0)， ∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1， 即h(t)=-t3+t-1. (2)若h(t)<-2t+m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围. (2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m， 由g'(t)=-3t2+3=0，得t=1，t=-1(不合题意，舍去). 当t变化时，g'(t)，g(t)的变化情况如下表: t (0，1) 1 (1，2) g'(t) ... ...