考点一：数列的概念 1．数列及其有关概念 (1) 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 3．函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 4．数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 5．通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 6．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 7．数列的前n项和Sn与an的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 考点二：等差数列 1．等差数列的概念及通项 (1)定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2)等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 (4)等差数列的判定 ① (定义法); ②(中项法); ③(通项法, 一次函数); ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 2．等差数列前n项和 (1) ； (2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . 3．等差数列的性质 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． (3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【点拨】1. 等差数列概念的理解 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征)． (3)公差可以是正数、负数、零． 2. 在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项，即an－1＋an＋1＝2an.反之，若2an＝an－1＋an＋1对任意的n≥2，n∈N*均成立．则数列{an}是等差数列． 3. 等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d和n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项． 4. 等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d与首项a1、公差d和项数n这三个量有关；公式Sn＝与首项a1、末项an和项数n这三个量有关． 考点三：等比数列 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 2．等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 3．等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 4．等比数列的前项和公式 5．等比数列的性质 设等比数列的公比为 (1) 若，且，则，特别地，当时，． ... ...
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