6.1.2 课时2 导数的几何意义 第六章 导数及其应用 1.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 在赛跑、赛车和滑冰运动中，我们常听到“弯道超越”这样的词语，教练通过回放录像分析运动员弯道时的运动方向，这需要求运动曲线在任意一点的切线，那么怎样求曲线的切线？ 问题：从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？ 设函数y=fx的图象如图所示，AB是过点Ax0,fx0 与点 Bx0+Δx,fx0+Δx 的一条割线， 此割线的斜率是ΔyΔx=fx0+Δx?fx0Δx. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A 转动，它的极限位置为直线AD， 这条直线AD叫作此曲线在点A 处的切线. 于是当△x→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k ， 即k=f′x0=limΔx→0?fx0+Δx?fx0Δx . ? 知识梳理 (1)切线的概念：如图，对于割线 PPn ，当点 Pn 无限接近于点 P 时，割线 PPn 无限接近于通过点 P 的一条直线，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线. ? (2)导数的几何意义：函数 fx 在 x=x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k ，即 k=limΔx→0?fx0+Δx?fx0Δx=f′x0 . ? 例1 求曲线????=1????在点A(12,2)处的切线的斜率，并写出切线方程. ? 解：∵△y=21+2??????2=?4?????1+2?????，∴??????????=?41+2?????， ∴切线的斜率k=lim?????→0?41+2?????=?4， ∴切线的方程为 ?????2=?4(?????12)， 即4????+?????4=0. ? 归纳总结 求曲线在某点处的切线方程的步骤 例2 求过曲线y=f(x)=x3上的点(1，1)的切线方程. 错解:∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx， ∴??????????=(????????)3+3(????????)2+3?????????????=(Δx)2+3Δx+3， ∴f(1)=lim?????→0[(????????)2+3????????+3]=3， ∴所求切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? ? 求过曲线上某点的切线方程时该点不一定是切点，错解只考虑了该点是切点的情况，导致漏解. 例2 求过曲线y=f(x)=x3上的点(1，1)的切线方程. 求过曲线上某点的切线方程时，要注意该点不一定是切点.因此，在解题时要先设出切点，再求出切线斜率，根据切点与斜率写出切线方程，最后将该点的坐标代入.在解题过程中不必考虑该点是否为切点. 归纳总结 借助曲线的切线，我们还可以从几何上来理解瞬时变化率的实际意义，并可利用某一点的导数来估计这一点附近的函数值. 例3 已知f(x)=????33，利用f(3)=9，f'(3)= ，Δx=0.02，可得f(3.02)的近似值为 . ? 9 9.18 解析：f'(3)=limΔ????→0(3+Δ????)33?333Δ????=limΔ????→09+3Δ????+(Δ????)23=9， f(3.02)≈f(3)+0.02f'(3)=9+0.02×9=9.18. ? 根据今天所学，回答下列问题： 1.导数的几何意义是什么？ 2.如何求函数在某点处的切线的方程？ 1.设f'(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 2.曲线f(x)=9????在点(3，3)处的切线的倾斜角α等于( ) A.45° B.60° C.135° D.120° ? B C 3.(多选)下面说法不正确的是( ) A.若f'(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线 B.若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f'(x0)必存在 C.若f'(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f'(x0)有可能存在 4.曲线y=-2x2 +1在点P(1，-1)处的切线方程为 . ABD 4x+y-3=0 ... ...
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