湖南师大附中2025届模拟试卷（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【详解】由题意，集合， 联立方程组，整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 所以，即中元素的个数为2个. 故选：B. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为，所以，， 则， 所以，故A正确. 故选：A 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为函数的最小正周期， 所以函数的最小正周期为. 故选：B. 4. 若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为是夹角为的单位向量，，， 所以， ， 而，故， ，故， 所以， 而，解得， 则向量与的夹角为，故C正确. 故选：C 5. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由题意双曲线，所以，， 由计算得：，又因为双曲线的离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 其渐近线方程为． 故选：B. 6. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 故选：B 7. 已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（ ） A. B. C. 36 D. 27 【答案】D 【详解】因为，且，所以， 由余弦定理得：， 即即，即， 所以， 所以的面积为. 故选：D. 8. 已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（ ） A. 7 B. C. 9 D. 【答案】B 【详解】函数在区间上的最大值， 可看作是函数与在区间上函数值之差的绝对值的最大值. 函数在区间上的两个端点, 直线的方程为. 设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为， ，令，解得或（舍去）， 切点坐标为，代入直线方程，可得， 所以切线方程为. 由图像可知，直线在函数图象上方或下方时的值大于直线与函数图象相交时的值， 所以要使取到最小值，直线在直线和直线的中间，即直线， 此时，，所以. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ） A. 圆的半径 B. 直线与圆相交 C. 直线不可能将圆的周长平分 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BD 【详解】对于选项A，由，得到， 所以圆圆心为，半径为，所以选项A错误， 对于选项B，由，得到， 由，得到，所以直线过点， 又，所以点在圆内，故直线与圆相交，则选项B正确， 对于选项C，当直线过点，即时，直线平分圆的周长，所以选项C错误， 对于选项D，当时，圆心到直线的距离最大，直线被圆截得的弦长最短， 此时弦长为，所以选项D正确， 故选：BD. 10. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 B. C. 函数的值域为 D. 【答案】ACD 【详解】对于A，，定 ... ...
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