5.3.1 等比数列 课件（2课时，38张PPT）

5.3.1 等比数列 第五章 数列 5.3.1 课时1 等比数列的定义 第五章 数列 1.理解等比数列的概念，并能判断一个数列是否为等比数列. 2.掌握等比数列的通项公式，并能运用其解决相关问题. 情境①：中国有14亿人口，抖音占8亿，抖音是如何获得这么多的用户数量呢？中有句古话已经回答了这个问题“一传十，十传百，百传千，千传万……”这句话里包含了一组什么样的数列呢？ 情境②：庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果将“一尺之棰”视为单位“1”，则每日剩下的部分依次构成怎样的数列？ ①1， 10， 100， 1000， 10000，…… ②12，14，18，116，… ? ①1， 10， 100， 1000， 10000，…… ②12，14，18，116，… ? 思考:从前面两个情境中得到的数列有什么共同特点？ 经比较，可以看出数列①，②有如下的共同特征:从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是一个与项数n无关的常数. 类比等差数列的概念，从上述数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 概念讲解 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，其中常数叫做等比数列的公比，用字母 q 表示（q ≠ 0）. 符号语言 （q为常数，且q≠0，an≠0，n∈N+） 思考：数列 是等比数列吗?为什么？ 等比数列中，各项不能为零，公比不能为零. 注意： (1)等比数列{an}中，an≠0；奇数项的符号相同，偶数项符号相同； (2)公比q一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且q≠0； (3)若q＝1，则该数列为常数列． (4)常数列 a， a ， a ， a ， … a≠0 时，既是等差数列，又是等比数列. 思考:请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？ 设一个等比数列????????的为????，根据等比数列的定义，可得????????+1=?????????????， 所以????2=????1 q， ?????????????3=????2 q=(????1 q) ????=????1????2， ?????????????4=????3????=(????1????2) ????=????1????3 …… 归纳可得????????=????1?????????1(????≥2). 又????1=????1????0=????1????1?1，这就是说，当????=1时，上式也成立. 因此，首项为????1，公比为????的等比数列????????的通项公式为????????=?????????????????????. ? 等比数列????????的通项公式为????????=?????????????????????（????1≠0，????≠0）. ? l l 问题：你能用其他的方法推导出等比数列的通项公式吗？ 设一个等比数列{????????}的公比为????.根据等比数列的定义，可得：????????+1????????=????. ? 所以 ????2????1=????， ? ????3????2=????， ? ????4????3=????，??， ? 所以，????2????1?????3????2?????4????3????????????????????1=????????????1=???????????????????? ? ????????+1????????=????. ? (?????1)个 ? =?????????1. ? 由此可得，????????=????1?????????1. ? 累 乘 法 又????1=????1????0=????1????1?1，这就是说，当????=1时上式也成立. ? 例1 已知数列{an}的各项都不为0，a1＝1，且2an＋1＝3an，则a3的值为____，数列{an}_____等比数列(填“是”或“不是”). 解析：因为a1＝1，且2an＋1＝3an， 是 例2 在等比数列{????????}中，????4=2，????7=16，求????????. ? 解：设首项为????1，公比为????. ? ∵????4=????1????3=2，①????7=????1????6=16，② ? 由②①得????3=8，从而????=2，而????1????3=2， 于是????1=2????3=14， ? ∴????????=????1??????????1=14×2?????1=2?????3 ? . 你还有别的方法么？ 例2 在等比数列{????????}中，????4=2，????7=16，求????????. ? 类比：在等差数列????????中，????????=????????+（?????????）??????; 试问：在等比数列????????中，如果知道????????和公比q，能否求????????? 如 ... ...