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课件网) 专题九 三角形、四边形的相关计算 类型一 利用勾股定理求线段长 在图形中遇到求线段的长时，有时可以利用图形中的直角三角形 （或通过作垂线将待求线段放入某个直角三角形中），通过勾股定理 来解决问题. 1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为BC边上 一点，连接AP，若AP＝ ，则PC的长为 或 . 或 2. [2024·达州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上， 且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 . 3. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，将 △ABE沿BE折叠得到△FBE，EG∥DC，交BF于点G，则EG的长 为 . 4. 如图①，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝ ∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图②，将△ABC固定，将 △CEF绕点C顺时针旋转，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求 OF的长. 解：如图②，过点E作EH⊥CF于点H. 设OB＝OE＝x（x＞0）. ∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF， ∴EC＝ EF＝ ，∴EH＝ ，CH＝ EH＝ ， ∴OC＝ ＝ ，∴OH＝CH－OC＝ － . ∵OE2＝EH2＋OH2，∴x2＝ ＋ ， 解得x＝ 或x＝－ （舍去），∴OC＝ ＝ . 又∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF－OC＝2－ ＝ . 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在BC，CD 上，BE＝3，∠EAF＝45°，求DF的长. 解：【方法一】如图①，作正方形AMND，延长AE交MN于点G，连 接FG，将△ADF绕点A 顺时针旋转90°得到△AMH，易得△ADF≌△AMH，△AGF≌△AGH （SAS）. ∵ ＝ ，∴ ＝ ，解得MG＝ .设DF＝x，则FN＝9－x，FG ＝HG＝x＋ . ∵FG2＝FN2＋NG2，∴ ＝（9－x）2＋ ，解得x＝3， 即DF＝3. 【方法二】如图①，连接HF. 易得AG垂直平分HF， △AMG∽△HNF， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得x＝3，即DF＝3. 【方法三】如图②，过点F作FG⊥AF，交AE的延长线于点G，过点G作BC的平行线， 分别交AB，DC的延长线于点M，N. 易得△AFG为等腰直角三角形，△ADF≌△FNG（AAS）. 设DF＝x，则NG＝DF＝x，MG＝9－x. ∵ ＝ ，∴ ＝ ，解得x＝3，即DF＝3. 类型二 利用相似求线段长或线段比 在图形中遇到求线段长或线段比时，有时可以利用图形中的相似 三角形，通过相似三角形的性质得到线段比或建立待求线段的相似比 方程来解决问题.若图形中没有相似三角形，有时还需要通过作平行线 或垂线构造与待求线段相关的相似三角形. 1. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，BC＝4 ，D为BC上一 点，且∠DAC＝45°，则BD的长为 . 2. 如图，在△ABC中，点O在边BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝ 75°，AO＝3 ，BO∶CO＝1∶3，则AB的长为 4 . 4 3. [2024·宜宾]如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对 角线AC的长是 . 2 ＋2 4. 如图，在正六边形ABCDEF中，M为CD的中点，点N在边BC上， 且CN＝2BN，AM与FN相交于点P， 的值为 . 5. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，P为AB边上一点，M为CP 的中点，若∠PBM＝∠ACP，求BP的长. 解：如图，过点M作MN∥AC，交AB于点N，则MN为△APC的中位线， ∴MN＝ AC＝1，∠NMP＝∠ACP＝∠PBM. 又∵∠PNM＝∠MNB，∴△NPM∽△NMB，∴ ＝ . 设AN＝NP＝x，则 ＝ ，解得x1＝ （舍去），x2＝ ， ∴BP＝AB－AP＝3－2x＝3－2× ＝ . 6. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝3，D是CB延长线上一点，且 BD＝1.点E在直线AC上，当∠BAD＝∠CDE时，求AE的长. 解：分以下两种情况讨论. 如图①，点E在线段AC的延长线上时. ∵∠ABD＝∠DCE＝120°，∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得CE＝ ，∴AE＝AC＋CE＝3＋ ＝ . 如图②，点E在线段AC上时，过点E作EF∥AB，交BC于点F，则 △EFC为等边三角形. ∵∠ABD＝∠BFE＝120°，∠B ... ...
