17.2 一元二次方程的解法 【素养目标】 1.会用直接开平方法解形如x2=m,(ax+n)2=m(m≥0)的一元二次方程. 2.知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方运算. ◎重点:用直接开平方法解一元二次方程. 【预习导学】 知识点一 形如x2=m(m≥0)的方程的解法 阅读课本本课时“1.配方法”之前所有的内容,并填空.(阅读时注意思考:1.用直接开平方法求一元二次方程的解与求平方根的关系;2.一元二次方程的解的个数) 归纳总结:对于形如x2=m(m≥0)的方程,可以直接用开平方得到x= .这种解一元二次方程的方法叫作直接开平方法,简称开平方法. 【参考答案】± 对点自测 解方程:(1)x2-16=0; (2)3x2-6=0. 【参考答案】解:(1)x=±4;(2)x=±. 知识点二 形如(ax+n)2=m(m≥0)的方程的解法 对于x2=4,我们根据平方根的意义直接开平方得x=±2,如果把x变为(2t-1),即(2t-1)2=4,能否用直接开平方的方法求解呢 请你试一试. 归纳总结:对形如(ax+n)2=m(m≥0)的方程,可将 看成一个整体,转化为一元一次方程 ,最后得到方程的根x= . 【参考答案】解:能.2t-1=±2,即2t-1=2或2t-1=-2,所以方程的两根为t1=,t2=-. ax+n ax+n=± 对点自测 解方程:(1)(x+3)2-25=0. (2)(2x-3)2-4=0. 【参考答案】解:(1)x1=2,x2=-8. (2)x1=,x2=. 【合作探究】 任务驱动一 形如a(x+n)2=m(a,m同号,a≠0)的方程的解法 1.方程4(x-2)2=25能不能转化为(ax+n)2=m的形式 请你试着解出这个方程. 归纳总结:对于形如a(x+n)2=m(a,m同号,a≠0)的方程,可将方程的两边先同时除以a,得 ,最后得方程的根x= . 2.请你仿照上面的方法解方程:2(x+3)2-32=0. 【参考答案】1.答:能,两边同时除以4,得(x-2)2=,所以x-2=±,解得x1=,x2=-. (x+n)2= ±-n 2.解:x1=1,x2=-7. 任务驱动二 一元二次方程(ax+n)2=m有实数根的条件 3.已知关于x的一元二次方程(x+3)2-m=0有实数根,则m的取值范围是 . 【参考答案】3.m≥0 【变式演练】已知关于x的一元二次方程(x+3)2+m-1=0有实数根,则m的取值范围是 . 【参考答案】m≤1 【方法归纳交流】一元二次方程(ax+n)2=m有实数根的条件是m≥0. 任务驱动三 用直接开平方法解一元二次方程 4.用直接开平方法解方程: (1)(2x-3)2-121=0;(2)2(x-3)2-1=31. 【参考答案】4.解:(1)x1=7,x2=-4;(2)x1=7,x2=-1. 【变式演练】用直接开平方法解方程(x+3)2=(1-2x)2. 【参考答案】解:相等或互为相反数. ∵(x+3)2=(1-2x)2, ∴原式可变为x+3=±(1-2x), 解得x=-或4. 学习小助手 如果两个数的平方相等,那么这两个数是什么关系 【方法归纳交流】对于形如(ax+b)2=(cx+d)2的方程,可以用直接开平方法解决,得到两个关于未知数的一元一次方程,即ax+b=±(cx+d). 素养小测 1.若一元二次方程(x+6)2=64可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=8,则另一个一元一次方程是 ( ) A.x-6=-8 B.x-6=8 C.x+6=8 D.x+6=-8 2.方程(9x-1)2=1的解是 ( ) A.x1=x2= B.x1=x2= C.x1=0,x2= D.x1=0,x2=- 3.如图,这是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为 ( ) A.+1 B.-+1 C.+1或-+1 D.无法确定 4.若关于x的方程(ax-1)2-16=0的一个根为2,则a的值为 . 5.解方程:9(x-1)2=16(x+2)2. 【参考答案】1.D 2.C 3.C 4.或- 5.解:x1=-11,x2=-. ... ...
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