6.3.1二项式定理 导学案【含答案】

人教A版高二(下)数学选择性必修第三册6.3.1二项式定理-导学案 1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； 2.会应用二项式定理求解二项展开式； 3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力； 4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容. 重点： 应用二项式定理求解二项展开式 难点：利用计数原理分析二项式的展开式 1．二项式定理 (a＋b)n＝_____ (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有_____项． (3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn n＋1 ；C 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第_____项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝_____. k＋1 ；Can－kbk 二项式定理形式上的特点 (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等. (3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即+…+=2n. (4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) 问题探究 上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开式的问题。 问题1：我们知道 =a2+2ab+b2, （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则， 问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？ 二、典例解析 例1.求的展开式. 1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n. 2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢. 跟踪训练1 (1)求34的展开式; (2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 例2.（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数. 二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. (2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3,其二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280. 跟踪训练2. (1)求二项式26的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; (2)求x-9的展开式中x3的系数. 1.(a+b)2n的展开式的项数是(　　) A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1) 2.(2a+b)5的展开式的第3项是(　　) A.23 B.23a3b2 C.23 D.23a2b3 3.二项式的展开式中有理项共有　　　项. 4.如果()n的展开式中,含x2的项为第三项,则自然数n=　　　　. 5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式 中x7的系数. 6.已知在的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求 ... ...