4.1 因式分解 同步练习（含答案） 2024-2025学年数学北师大版八年级下册

因式分解的概念 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式. (1)因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式.(2)因式分解的结果要以积的形式表示，每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的次数.(3)因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 因式分解与整式乘法的关系 多项式整式的积. 因式分解的概念 典例1 [2022春·乐清期末]下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( C ) A.2ab(a－b)＝2a2b－2ab2 B.x2－3x＋1＝x(x－3)＋1 C.4a2－4a＋1＝(2a－1)2 D.x2＋1＝x(x＋) 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案. 变式 [2023春·西安期中]下列变形中，是因式分解的是( C ) A.4xy2＝2xy·2y B.x2＋1＝x(x＋) C.xy2－x2y＝xy(y－x) D.x2－2x－3＝x(x－2)－3 因式分解与整式乘法的互逆变形 典例2 [2023春·于洪区期末]把多项式2x2＋mx－5因式分解成(2x＋5)(x－n)，则m的值为( A ) A.m＝3 B.m＝－3 C.m＝7 D.m＝5 根据题意，2x2＋mx－5＝(2x＋5)(x－n)＝2x2－2nx＋5x－5n，根据等式列出关于m和n的方程即可解答. 解析：∵多项式2x2＋mx－5可因式分解成(2x＋5)(x－n)， ∴2x2＋mx－5＝(2x＋5)(x－n)＝2x2－2nx＋5x－5n＝2x2＋(5－2n)x－5n， ∴m＝5－2n，5n＝5， 解得n＝1，m＝3. 变式 [2023春·新邵县期末]多项式x2＋x－6可因式分解成(x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则(a＋b)2 023的值为( B ) A.－1 B.1 C.－2 023 D.2 023 因式分解的应用 典例3 通过计算说明255＋511能被30整除吗？ 将255化为以5为底数的形式，再变形成含有30 的因数即可. 解：255＋511＝510＋511＝510×(1＋5)＝59×5×6＝59×30，所以255＋511能被30整除. 变式 32 023－32 022－32 021能否被15整除？ 解：32 023－32 022－32 021＝32 021×(32－3－1)＝32 021×5＝32 020×15. 所以32 023－32 022－32 021能被15整除. 1.下列由左到右的变形，属于因式分解的是( B ) A.(x＋2)(x－2)＝x2－4 B.x2－4＝(x＋2)(x－2) C.x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x D.x2＋4x－2＝x(x＋4)－2 2.[2024春·惠来县期末]下列等式从左到右的变形，是因式分解的是( D ) A.2x(x－3)＝2x2－6x B.12m2n＝3m2·4n C.a2－2ab＋b2－1＝(a－b)2－1 D.x2－y2＝(x＋y)(x－y) 3.[2023春·历城区期末]下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( D ) A.x(a－b)＝ax－bx B.ax＋bx－c＝x(a＋b)－c C.x2－2x＝x D.y2－1＝(y＋1)(y－1) 4.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( D ) A.(x＋1)(x－1)＝x2－1 B.x2－2x＋3＝x(x－2)＋3 C.x2＋6x－9＝(x－3)2 D.(x－1)(x－2)－2＝x(x－3) 5.多项式x2＋mx＋6因式分解得(x－2)(x＋n)，求m. 解：x2＋mx＋6因式分解得(x－2)(x＋n)， ∴x2＋mx＋6＝(x－2)(x＋n)， ∵(x－2)(x＋n)＝x2＋(n－2)x－2n， ∴x2＋mx＋6＝x2＋(n－2)x－2n， ∴－2n＝6，m＝n－2. 解得n＝－3，m＝－5.因式分解的概念 因式分解：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式. (1)因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式.(2)因式分解的结果要以积的形式表示，每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的次数.(3)因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 因式分解与整式乘法的关系 多项式整式的积. 因式分解的概念 典例1 [2022春·乐清期末]下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( ) A.2ab(a－b)＝2a2b－2ab2 B.x2－3x＋1＝x(x－3)＋1 C.4a2－4a＋1＝(2a－1)2 D.x2＋1＝x(x＋) 变式 [2023春·西安期中]下列变形中，是因式分解的是( ) A.4xy2＝2xy·2y B.x2＋1＝x(x＋) C.xy2－x2y＝xy(y－x) D.x2－2x－ ... ...