1.2 直角三角形 学案 （含答案）2024-2025学年数学北师大版八年级下册

直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 ，简述为： . 证明直角三角形全等的方法还有：(1)一条直角边、一个锐角分别对应相等的两直角三角形全等(ASA或AAS)；(2)两直角边分别相等的两个直角三角形全等(SAS)；(3)斜边和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等(AAS). 互逆命题、互逆定理 1.在两个命题中，如果一个命题的 和 ，分别是另一个命题的 和 ，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 . 任何一个命题都有逆命题，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题也可能是真命题.原命题的条件是它逆命题的结论，原命题的结论是它逆命题的条件. 2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为 ，其中一个定理称为另一个定理的 . 所有的命题都有逆命题，不过，有的定理并不一定有逆定理.如“对顶角相等”就没有逆定理. 直角三角形全等的判定 典例1 典例1图 如图，∠A＝∠B＝90°，点E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.求证：△DEC为直角三角形. 变式1 [2023春·礼泉县期中]使两个直角三角形全等的条件可以是( ) A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等 C.斜边及一条直角边对应相等 D.一条边对应相等 变式2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC. 变式2图 变式3 如图，在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF.点O是BC边中点，试说明AB＝AC. 变式3图 互逆命题、互逆定理 典例2 命题“等边三角形的三个角都相等”.这个命题的逆命题是 ；这个逆命题是 (填“真”或“假”)命题. 变式 命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 ，该命题是 (填“真”或“假”)命题. 1.[2024春·浑南区期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是( ) A.AAS B.SAS C.ASA D.HL 第1题图 2.如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD ②∠ABC＝∠ABD ③∠BAC＝∠BAD ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是( ) 第2题图 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D，若要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB，还需添加的一个条件是 (只填一个)，并证明. 第3题图 4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：Rt△BDE≌Rt△CDF. 第4题图直角三角形的性质 1.直角三角形的两个锐角 . 2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 .即在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则AC2＋BC2＝ . 直角三角形的判定 1.有两个角互余的三角形是 . 2.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形是 . 勾股定理的逆定理的作用：(1)它是判断某个三角形是否为直角三角形的重要方法之一；(2)它是把数转化为形的重要依据，是通过计算判断三角形形状的方法之一. 直角三角形的性质与判定 典例 设△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( ) A.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B.b2＝a2－c2 C.∠A＋∠B＝90° D.a∶b∶c＝5∶12∶13 变式1 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( ) A.3，5，7 B.5，7，12 C.7，14，15 D.9，12，15 变式2 如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： (1)△ABC的周长； (2)请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由； (3)△ABC的面积； (4)点C到AB边的距离. 变式2图 1.在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是( ) A.45° B.30° C.90° D.60° 2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( ) A.∠C＝∠A＋∠B B.a∶b∶c＝3∶4∶5 C.∠C＝∠A－∠B D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 3.[2024秋·历城区期末]如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，EF∥BC， ... ...