探源1 平面向量的线性运算、数量积 [命题点分析] 高考对平面向量的考查多为中低档题，一般以选择、填空题的形式出现，主要考查平面向量的线性运算、数量积的概念及其运算性质，其中向量共线的充要条件、数量积的几何意义、平面向量的夹角、模、垂直考查频率较高． 【案例1】 (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( ) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n B [因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即＝2()，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n. 故选B.] [考题来源] 本考题来源于教材6.3.1节例1，均以爪型三角形为载体，考查向量的线性运算及平面向量基本定理，考题与例题难度相当． [试题评价] 上述两题都以向量的表示为落脚点，考查了对平面向量基本定理的理解，考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养． 【案例2】 (2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( ) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 D [因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.] [考题来源] 本考题来源于教材复习参考题6第8题，均以向量坐标运算为载体，考查利用向量垂直求参数的值，难度相当． [试题评价] 上述两题都以参数值的求解为落脚点，考查了向量的坐标的线性运算和数量积的坐标运算，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养． 【案例3】 (2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝_____． [由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝.] [考题来源] 本考题来源于教材习题6.2第11题，两题相近，但难度高于教材习题． [试题评价] 上述两题都以向量模的求解为落脚点，考查了向量的模与数量积之间的关系，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养． 探源2 利用正、余弦定理解三角形 [命题点分析] 从近几年高考来看，正、余弦定理及其综合应用是高考命题的主方向，主要有两种类型：一种是三角形的边、角的求解，一般出现在选择、填空题中，另一种是结合三角函数、三角恒等变换、平面向量等知识进行综合考查，一般在解答题中出现．而对于利用正弦、余弦定理解决实际问题，一般是以实际问题为背景，构建数学模型，结合正弦、余弦定理进行求解，一般为选择、填空题． 【案例4】 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． [解] 法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin ＝sin ， 展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)， 得sin A＝3cos A， 又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0， 所以sin A＝. (2)由正弦定理＝， 得BC＝·sin A＝＝3， 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C， 得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ， 整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2. 由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜， 又A＋B＝，所以B＞， 即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2. 设AB边上的高为h，则×AB×h＝×AC×BC sin C， 即5h＝2×3， 解得h＝6， 所以AB边上的高为6. 法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C ... ...
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