7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 [学习目标] 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件． [讨论交流] 预习教材P68－P70的内容，思考以下问题： 问题1．为什么要引入复数？ 问题2．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？复数分为哪两大类？ 问题3．复数相等的充要条件是什么？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 复数的有关概念 探究问题1 我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，类比从自然数集到实数集的扩充过程，思考能否引入一种“新数”使得x2＝－1有解？ [提示] 为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1． 探究问题2 引入新数“i”后，新的数系该怎样表示？ [提示] a＋bi(a，b∈R)． [新知生成] 1．定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1． 2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 3．复数集 (1)定义：全体复数构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}． 【教用·微提醒】 (1)i2＝－1． (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算． (3)a，b∈R． [典例讲评] 1．(源自湘教版教材)求以下复数的实部和虚部： (1)1－i；(2)3＋2；(3)－i． [解] (1)1－i＝1＋(－1)i，实部为1，虚部为－1． (2)3＋2＝(3＋2)＋0i，实部为3＋2，虚部为0． (3)－i＝0＋(－1)i，实部为0，虚部为－1． 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． [学以致用] 1．(1)若复数z满足z＝6i＋2i2，则z的虚部是( ) A．－2i B．6i C．1 D．6 (2)若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝ ． (1)D (2)4 [(1)z＝6i＋2i2＝－2＋6i，则z的虚部是6，故选D． (2)由题意知，2a－1＝3＋a，解得a＝4．] 探究2 复数的分类 [新知生成] 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【链接·教材例题】 例1 当实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 分析：因为m∈R，所以m＋1，m－1都是实数．由复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值． [解] (1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数． (2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数． (3)当m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，复数z是纯虚数． [典例讲评] 2．(源自湘教版教材)当m为何实数时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i分别是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0 [解] (1)当m2－1＝0，即m＝±1时，复数z是实数． (2)当m2－1≠0，即m≠±1时，复数z是虚数． (3)当m2＋m－2＝0且m2－1≠0，即m＝－2时，复数z是纯虚数． (4)当m2＋m－2＝0且m2－1＝0，即m＝1时，复数z＝0． 复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： ①z为实数 b＝0； ②z为虚数 b≠0； ③z为纯虚数 a＝0且b≠0． [学以致用] 2．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，复数z满足下列条件？ (1)z为实数 ... ...
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