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课件网) 6.3.1二项式定理 一、情境引入 7.07365≈37.8 0.99365≈0.03 7.02365≈7377.4 0.98365≈0.0006 2 · 牛顿在1664-1665年 间发现了二项式定理 (a+b)"= 二、探究归纳 (a+b) =a +2ab+b (a+b) =a +3a b+3ab +b (a+b) = (a+b)"= 思考1 (a+b)2 展开式中的各项是如何得到的 (a+b) =a +2ab+b a ab ba b C2 a C ab C b =a +2ab+b 思考1 (a+b2 展开式中的各项是如何得到的 (a+b) =Ca +C ab+C b 以取到b的个数为分类标准 思考2 (a+b)3展开式中的各项是如何得到的 (a+b) = (a+b)(a+b)(a+b) @b@b@ 思考2 (a+b3 展开式中的各项是如何得到的 C }a b 思考2 (a+b3 展开式中的各项是如何得到的 C ab 思考2 (a+b)3展开式中的各项是如何得到的 a a a a C3 a C3a b(a+b)=c a +C a b+C ab +C b @ C ab =a +3a b+3ab +b b C b L 1 思考2 (a+b3 展开式中的各项是如何得到的 (a+b) =(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) 探 究 ： (1)(a+b) 展开后各项形式分别是什么 a a b a b ab b (2)你能分析说明各项前的系数吗 (a+b) =Ca +C+a b+C a b +Ciab +b 思考3 (a+b)4 展开式中的各项是如何得到的 思考4 (a+bn(n∈N*) 展开式中的各项是如何 (a+b) = 猜 想 ： (a+b)"= n 十 … +C"b"(n∈N) 三 、建构 数学 (a+b)"=(a+b)(a+b)…(a+b n a a a n个 Cn an C1 an-1 a a ch an- bb k个 b Cbn (a+b)"=Cd"+Ca-b+…+Ca"kb +…+Cb"(n∈N) 二项式定理 三 、建构数学 次数规律 · 各项的次数 均为n; · 各项里a的 次数由n减 小到0,b的 次数由0增 大到n. 项数规律 · 两项和的n 次幂的展 开式共有 n+1个项 . 三、认识二项式定理 通项公式 TI=C"a b". (k=0120n) 系数规律 C,CC 。 oo C”. 例 已知(1+2x) (1)求它的展开式； (2)求它的展开式中第4项； (1+2x) =C(2x)°+C (2x) +C (2x) +C (2x) +C (2x) +C,(2x) +C (2x) +C (2x) 3)+求它的展开式皮含 项的系数及二项式系数i8x7 四应用体验 例2 (1)求(1+2x) 的展开式的第4项的系数； 一个二项展 开式的某一项 (2)求 的展开式中x 的系数 . 的二项式系数 与这一系数是 解：(1)由通项公式，可得 两个不同的概 T =T3+1=C (2x) =280x . 念 ∴(1+2x) 的展开式的第4项的系数是280. (2)由通项公式，可得 设3-k=2, 解得k=1. ∴x 的系数是(- 1)×2 ×C =-192. 例题讲解 例2. (1) 的展开式中，常数项是() . B C. 口 答案：D. 解：(1) 展开式的通项 令 1 2 - 3r=0, 解 得r=4. 所以常数项 , 解：(2) 的展开式的通项 (r=0,1,2, …,8), 使Tr+1为有理项，r 必须是4的倍数， 所以r=0,4,8, 故共有3个有理项，分别 例2. (2). 的展开式中的有理项. 巩固训练 5.在(x -1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5) 的展开式中，含x 的项的系数是 ● 解：含x 的项是由5个括号中任意4个括号各取出1个x, 剩余1个括号取出常 数相乘得到的，故含x 的项的系数是 (-1)+(-2)+ (-3)+ (-4)+(-5)=-15. 1、 (1)化简(x-1) +4(x-1) +6(x-1) +4(x-1)+1 得(A ) A.x4 B.(x-1) C.(x+1) D.x (2)3Cn+9C +27C + …+3"Cn= 4"-1 (n∈N). 解析：3Cn+9C +27C +…+3"Cn =Cn+3Cn+9C +27C +…+3"Cn-1 =(1+3)"-1=4"-1. 拓展练习 二项式定理(项和系数) 运用计数原理推导二项式定理(从特殊到一般，归纳推理) 运用二项式定理解决数学问题(化归思想) 在具体情境中运用二项式定理(数学服务生活) 五、课堂小结 发现问题-探索规律- 总结规律-应用规律 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养 ... ...
