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课件网) 第六章计算原理 6.3二项式定理 课时1二项式定理 问题1: 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a+b) 的展开式： (a+b) =(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a +2ab+b . 如何利用分步 乘法计数原理解释上述展开过程 问题2: 仿照上述过程，你认为(a+b) ,(a+b) ,(a+b)n 的展开式分别是什 么 探究一：二项式定理 情境设置 新 知 生 成 知识点 一 二项式定理 二项式定理公式 (a+b)n=Can+Cnan-1b+…+Chan-kbk+…+Cnbn(n∈N*) 叫作二项式定理.简写成 .等号右边的式子称为二项展开式， (a+b)n 的展开式共有(n+1) 项，其中 称为二项式系数. 一 、二项式定理 例题1(1)求 的展开式. (2)化简： Cn(x+1)n-Cn(x+1)n-1+C2(x+1)n-2-…+(-1)kch(x+1)n-k+ …+ (-1)ncn. ( 2 ) 原 式 = C(x+1)n+Ch(x+1)n-1(-1)+C (x+1)n-2(-1) +…+Ch(x+1)n-k(- 1)k+…+Cn·(-1)n=[(x+1)+(-1)]"=x". 反思感悟 方法总结 二项式定理的双向功能 (1)正用：将(a+b)" 展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展 开.对于较复杂的式子，可先化简，再用二项式定理展开. (2)逆用：将展开式合并成(a+b)" 的形式，即二项式定理从右到左使用是合并. 对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的 规律以及各项系数的规律. 新 知 运 用 跟踪训练1(1)1 - 2C1+4C2-8C +16C 先+ … +( - 2)nCn的值为(C). A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n (2)若(1+ √ 3) = a+b√3(a,b 为 有 理 数 ) , 则a+b= 44. 【解析】(1)1 -2C!+4C2-8C +16C 先+ … +(-2)"cn=[1+(-2)]"=(1-2)n=(-1)n (2):(1+√3) =C×(√3°+c×(√3) +c ×(√3) +c×(√3 +c×(√3) =1+ 4√3+18+12√3+9=28+16√3,∴a=28,b=16, ∴a+b=28+16=44. 问题1: 在(a+b)n 的展开式中， Tk+1=Chan-kbk 是展开式的第几项 其二项式 系数是什么 问题2: (1+3 x)n 的展开式是什么 其第6项的二项式系数和第6项的系数各是 什么 探究二：二项展开式的通项 情境设置 新 知 生 成 知识点二二项展开式的通项 二项展开式的通项 (a+b)n 展开式中的 作二项展开式的通项，它表示展开式的第k+ 1 项，记作 所以 的展开式中第6项的二项式系数为C5=6, 第6项的系数为 C5·(-1) ·2=-12. (2) 的展开式的通项为T+1=Cbx -r. ·Cs·x -2r, 令 9 - 2r=3, 可得r=3, 即展开式中第4项含x , 其系数为(-1) ·C =-84. 一 、二项展开式的通项的应用 例题2(1) 的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求 的展开式中x 的系数. 【解析】(1)由已知得 的展开式的通项为 反思感悟 方法总结 1.二项式系数都是组合数Cn(r=0,1,2, … ,n), 它与二项展开式中某一项的系数 不一定相等，要注意区分“二项展开式中某一项的二项式系数”与“二项展开式 中某一项的系数”的概念. 2.第r+1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Cn.例如， 在(1+2x) 的展开式中，第4项是T =C 17-3(2x) , 其二项式系数是C =35, 而第4项的系数是C z =280. 新知运用 跟踪训练2(1)在 的展开式中，含x-3 项的系数为(A). A.240 B.160 C.-160 D.-240 (2)若(2-x)n(n∈N*) 的展开式中的常数项为32,则n=(A). A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】(1) 的展开式的通项为T+1= C6(R6-r. (-2)x=(-2)° · , 得r=4, 所 以 含x-3 项的系数为 . 故 选A. (2)(2-x)n(n∈N*) 的展开式的通项为T k+1=Ch·2n-k.(-x)k , 故常数项为 T =Cn·2n=32, 解 得n=5. 故 选A. 二 、求两个多项式积的特定项 例题3(1) 的展开式中x 的系数为(C). A.270 B.-270 C.765 D.-765 (2 的展开式的通项为 ,所以该展开式中 x 的系数 .故选C. (2) 的展开式的通项为Tr+1=Ciox -r. ·Ciox 0-2r, 故展开式中x 的系数为(-1) ×C 0-a×(-1) ×C o=-120-45a, 则 - ... ...
