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课件网) 第 6 章 平面向量及其应用 6.4.3.2 正弦定理 高一数学必修第二册(人教A版2019) 学习目标 ● 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. ● 2.掌握正弦定理，用向量的方法推导正弦定理. ● 3.能利用正弦定理解三角形； ● 4.三角形解的个数的判断 . 探索新知 思考1: 在上节课中，若已知两边及一角或三边，可以利用余弦定理解三角形。 那么,若已知三角形两角及一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论，实际上，三角形中还有大 边对大角，小边对小角的边角关系。 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在△ABC 中，设A 的对边 为a,B 的对边为b, 求A,B,a,b, 之间的定量关系.从而可以解决“在△ABC中， 已A,B,a, 求b” 的问题. 思考2:向量的数量积中出现的是角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化 由诱导公 知，我们可以通过构造角之间的互余关系， 把边与角的余弦关系转化为正弦关系. 猜想它们之间的联系. 根据锐角三角函数，在Rt△ABC 中，有： , 则 ： 又因为sin C=sin 90°= 1, 所以 探究：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系， 如图，在锐角△ABC 中，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则了与AB的夹角 ,j 与CB 的 夹角 因为AC+CB=AB, 所以了 ·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得：了 ·AC+j ·CB=j ·AB, 思考3:对于锐角、钝角三角形以上结论是否成立 同理，过点C作与CB 垂直的单位向量m, 可 也即asin C=csin A.所以 因此， 由分配率，得：j.AC+j.CB=j.AB 即 j. 也 即a s inC=cs in A,所 以 当△ABC 是钝角三角形时，不妨设A 为钝角(如图). 过点A作与AC垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角为 ,j 与CB 的夹角 ● 因为AC+CB=AB, 所以j.(AC+CB)=j·AB, 业 asinB=bsinA 即： 同 理 ， 即： asinB=bsinA 即： 业 思考4:还有其他的方法证明上述关系式的成立吗 钝角三角形 锐角三角形 同 理 ， 即： 业 【问题】利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题 【问题】正弦定理有几个等式，每个等式中有几个元素 利用正弦定理，我们可以解已知“两角和一边”和 “两边和其中一边的对角”的三角形. 学习新知 正弦定理 正弦定理中有三个等式，每个等式中有四个元素(两角及其对边) . 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： 边角互相转化 应 用 新 知 例7.在△ABC中，已知B=30°,A=15°,c=3+√3, 解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得： C=180°-(A+B)=180°-(15°+30°)=120° . 由正弦定理，得： 例8.在△ABC中，已知B=30°,b=√2,c=2, 解这个三角形. 解：由正弦定理，得： 因 为c>b,B=30°, 所以30 °
bsin A,则有两解. (2)若a=bsinA, 则只有一解. C b a=bsinA A B (3)若a
