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课件网) 第 6 章 平面向量及其应用 6.4.3.1 余弦定理 高一数学必修第二册(人教A 版2019) 引入新知 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积 等，它们之间存在着确定的关系。 例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系. 对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS,SAS,ASA , AAS等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元 素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系 下面我们利用向量方法来研究这个问题. 探究新知 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 (SAS). 这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么,表示的公式是什么呢 探究：如右图，在△ABC 中，三个角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 怎样用a,b 和C 表示c 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们 考虑用向量的数量积来探究 ①把几何元素用向量表示： 设 CB=a,CA=b,AB= 亡，那么C=a-b ②进行恰当的向量运算： cl =c·c=a-b)·a-b) =a·a+b·b-2a·b 同 理 得 ： b =a +c -2|a||c|cos =a +b -2|a|·|b|cosc c =α +b -2|a||b|cos C ③向量式化成几何式： c =a +b -2abcos A C B B; C. b a C 学习新知 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去 这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 【问题】利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. a =b +c -2 b =a +c -2 c =a +b -2 cos cos cos A; B; C. b a a || || || c c b 思考1:你能用其它方法证明余弦定理吗 坐标法 在AABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 如图以点A为坐标原点，边AB 所 在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(c,0),C(b cosA,b sinA) 由两点间距离公式得： BC =(bcos A-c) +(bsin =b cos2A-2bc =b +c2-2bc cosA 即 a =b+c -2bccos A 同理可证 b =a +c -2accos A-0) cosA+c +b sin A B,c =a +b -2abcos C(b cosA,b sinA) b 儿 C B (c,0) X yA 0(A) C AD=bsin(π-C)=bsinC CD=bcos(π-C)=-bcosC BD=a-bcosC c =AD +BD =(bsinC) +(a-bcosC)+0 =a +b -2abcos C AD=bsinC CD=bcosC BD=a-bcosC c =AD +BD =(bsinC) +(a-bcosC) i =a +b -2abcos C C b C a C a B A b/ D Ai D A b c- 几何法 C a c =a +b B B 怎样确定呢 a =b +c -2bccos A > b =a +c -2accos B c =a +b -2abcos C 余弦定理及其推论把用"SAS" 和 “SSS”判定三角形全等的方 法从数量化的角度进行了刻画. 思考2:余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应 用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题， 从余弦定理及其推论可以看出， 三角函数把几何中关于三角形的定 性结论变成了可定量计算的公式! 形的三边与其中的一个角之间的关系.你能说说这两个定理之间的关系吗 当C=90° 时 ，cosC=0, 则 勾股定理 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 一般地，三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素. 已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 思考3:勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理指出了三角 思考4: 当角C为直角时，有c =a +b , 当角C为锐角时，这三者的关 系是什么 钝角呢 2+ g(x)=cos(x) c 为钝角 一 C 为直角 作 2 2n π 应用新知 例5.在△ABC 中，已知b=60 cm,c=34 cm,A=41°,解这 ... ...
