专题 一次函数综合题最值问题 1．如图，直线与x轴，y轴分别交于两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知P是坐标平面内一点，连接所得的的面积分别为设； ①如图（2），若点P的坐标为，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； ②如图（3），若点F在x轴上，坐标为，点Q是y轴上的一个动点，当时，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①，理由见详解② 【分析】本题考查了一次函数—几何综合问题，求函数解析式，解题关键是过动点向x轴，y轴作垂线． （1）将点E代入中即可得点E的坐标，将点E代入即可求解； （2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴，可得，由此即可得 ，，将， ，代入即可求解； ②当时，，即可求得点，然后利用两点之间线段最短即可求得的最小值为． 【详解】（1）解：点E在直线上，点E的横坐标为4， ， 点E在直线上， ， 直线与x轴交于点D， ； （2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴如图： ， 直线与x轴，y轴分别交于两点， ， ,, , ，， ， ， ， ， ， ②解：如图所示， 过点作轴于点， 则， ∴ ∴ 由①可得， ∴在上时， 设且， 依题意，当重合时，最小， 此时在原点，点，则的最小值为． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点． (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连结，，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点坐标，得出，再根据等面积法建立等式，计算即可作答． （2）设点D的坐标为，结合，表达出的值，再结合（1）求出的解析式，表达出点F的坐标，根据建立等式，计算即可作答． （3）在上取点，连接，运用勾股定理求出，然后得到，根据全等性质，得，，点三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点 ∴当则 ，故； 当，则，故； ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴； （2）解：依题意，设点D的坐标为， ∵过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且 ∴当，则，解得 ∴，即； 过点C作 由（1）知， ∴ 根据等面积法， 得 ∴ 则 设直线的解析式为 把代入 解得 ∴直线的解析式为 则点 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； （3）解：如图：在上取点，连接 ∵，，， ∴ ∵直线过点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵要求线段的最小值 ∴要求出最小值 则点三点共线时，则有最小值， 此时最小值 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合：求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度大，运算律大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，直线经过原点和点，直线经过点和点．点是轴上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点． (1)求直线，函数关系式； (2)设点的横坐标为，若点在线段上． ①若，求四边形的面积； ②若点是线段的三等分点，求的值． (3)过点作直线的对称点，当点在轴上运动时，点也随之运动．在此运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) ； 或 (3) 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）过点作轴于点，求出点坐标，把四边形的面积转化为求解即可； 用表示出点的坐标，求出、，分两种情况解答即可求解； （）根据垂线段最短得：当直线时，线段最短，设，过点作轴，利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， ， 直线经过点和点， ∴， 解得， ； （2）当时，代入函数，得， ，则，， 过点作轴于点， ， ， ... ...
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