中考数学几何模型决胜88招模型59 相似之子母型相似模型（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 模型59 相似之子母型相似模型 跟踪练习 1. 如图, 在△ABC中, AD是中线,BC=8, ∠B=∠DAC, 则 线 段AC的长为 ( ) A.4 B.6 2. 如图, 在 ABCD中, E为AB延长线上一点, F为AD上一点, ∠DEF=∠C.若 DE=4, AF= 则 BC的长是 ( ) A. B. C.6 D. 3. 如图, 在菱形ABCD中, AB=2, E为AB的中点, CE交 BD于点 F,且∠ADB=∠BCE, 则BF的长为( ) C. D. 4.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”. (1) 如 图, 在△ABC 中, CD 为△ABC 的 角 平 分 线,∠A=40°,∠B=60°.求证: CD为△ABC的“优美分割线”； (2)请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数； (3) 在△ABC中, ∠A=30°, AC=6, CD为△ABC的“优美分割线”,且△ACD 是等腰三角形，求线段BD 的长. 1. C 解析: ∵ BC=8, AD是中线, ∴ CD=4. ∵ ∠B=∠DAC, ∠C=∠C, ∴△CBA∽4×8=32, ∴AC=4 故选C. 2. A 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AD=BC, ∠A=∠C. ∵ ∠DEF=∠C,∴ ∠DEF=∠A. ∵ ∠EDF=∠ADE, 或AD=-3( 舍去), ∴ BC的长是 故选A. 3. B 解析: ∵四边形ABCD是菱形,∴ AD=AB=CD=BC=2, AB∥CD,AD∥BC, ∴∠ADB=∠FBC. ∵ ∠ADB=∠BCE, ∴∠FBC=∠FCB, ∴FB=FC.∵E为AB的中点, CD, ∴△BEF ∽△DCF, ∴BED=EFFC= , ∴FC=2EF, ∴ BF=2EF.设EF=x,则BF=FC=2x, ∴EC=EF+FC=3x.∵AB=AD, ∴∠ADB=∠ABD, ∴∠ABD=∠BCE, ∵∠BEF=∠CEB, ∴△BEF∽△CEB, ∴ EFBE =BEC, ∴ BE =EF·EC, ∴1 =x 3x, ∴x= (舍去), 故选B. 4. 解析: (1) 证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°, ∴△ABC不是等腰三角形. ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD=∠A=40°, ∴△ACD为等腰三角形. ∵ ∠DCB=∠A=40°, ∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC, ∴ CD为△ABC的 “优美分割线”. (2) 如图1, 在△ABC中, CD为“优美分割线”. (3)①当AD=CD时, 如图2, 此时∠A=∠ACD=30°, ∠BCD=∠A=30°,则∠ACB=60°, 故∠B=90°. 在Rt△ABC中, ∠A=30°, AC=6,∴ BC=3. 在Rt△BCD中, ∠BCD=30°, BC=3, ②当AC=AD时, 如图3, 过点C作CE⊥AB于E, ∵∠A=30°, ∴ ∠ACD=∠ADC=75°, ∠BCD=∠A =30°, ∠BDC=105°,此时∠ACB=105°, ∠B=45°. ∵∠A=30°, AC=6, ∴ EC=3, AE=3 ∵∠B=45°,∴EC=BE=3,AB=3 +3, ③当AC=CD时, 图形不成立.综上， 或