中小学教育资源及组卷应用平台 模型54 旋转构造之奔驰模型 跟踪练习 1.如图, 点 D是等边△ABC内一点, 三角形ACE 是由 绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是( ) A.40° C.105° D.55° 2.如图，等边三角形ABC内有一点 P，且 PA=3,PB=4,PC=5,则 ∠APB的度数为 ( ) A.150° B.135° C.120° D.165° 3. 如图,△ABD 是等边三角形,以AD为边向外作△ADE,使∠AED=30°,且AE=3,DE=2,连接BE,则BE的长为 . 4.如图，P是等边三角形ABC内一点, 连接PA, PB, PC, 以BP为边作 且 连接CQ. (1) 求证: (2)若 求PC的长. 1. C 解析：如图，连接DE， 由旋转可知，△ACE ≌△ABD, ∴AE=AD=3, CE=BD=3, ∠BAD=∠CAE, ∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60°, ∴∠BAD+∠DAC=60°, ∴∠CAE+∠DAC=60°, 即∠DAE=60°, ∴△DAE是等边三角形,∴ DE=AD=3,在△CDE中, 是等腰 直 角 三 角 形, 且 ∠DEC=90°, DE=CE, ∴ ∠EDC=45°, ∴ ∠ADC=∠ADE+ ,故选C. 2. A 解析: ∵△ABC为等边三角形,∴BA=BC,可将△BPC绕点 B 逆时针旋转60°得到△BEA, 连接EP, 如图, ∴BE= BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,∴△BPE为等边三角形,∴PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4, ∴AE =PE +PA ,∴△APE为直角三角形, 且∠APE=90°, .故选A. 解析: 如 图,作EF⊥AE,且EF=DE,连接AF,DF,因为∠AEF=90°, 所以 ，所以△DEF是等边三角形,所以∠EDF=60°,易知∠ADF=∠BDE,又因为AD=BD,DE=DF, 所以△BDE≌△ADF(SAS), 所以BE= AF, 因为AE=3,EF=DE=2,所以 4. 解析: (1)证明:∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABC=60°, AB=CB, ∴ ∠ABP+∠PBC=60°. 又∵∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60°, ∴ ∠ABP=∠CBQ. 在△ABP和△CBQ中, ∴△ABP≌△CBQ(SAS), ∴ AP=CQ. (2)连接PQ,如图所示. 由(1)知△ABP≌△CBQ, ∴∠BQC=∠BPA=150°. ∵BP=BQ,∠PBQ=60°, ∴△PBQ为等边三角形， ∴ PQ=PB=4,∠BQP=60°, ∴∠PQC=90°. 在Rt△PQC中, PQ=4, CQ=AP=3,
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