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课件网) 5.3.1 课时2 等比数列的性质 1. 了解等比数列与指数函数的关系； 2. 理解等比中项的概念，能用公式求解； 3. 掌握判断等比数列的常用方法； 4. 能通过等比数列的概念、通项公式了解等比数列的性质，并能灵活运用于解决问题. 等差数列 等比数列 定义 an - an-1=d 公差与公比 d可以为0 通项公式 an=a1+(n－1)d an=am+(n－m)d q不可以为0 an=a1qn-1 an=amqn-m 探究1：如果在与之间插入一个数，使得成等比数列，那么应该满足什么条件？ 由等比数列定义及成等比数列可得：， 整理可得 = 由此可知 . 一、等比中项的概念 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时， . 对等比中项的理解： (1)若G是a与b的等比中项，则 ，所以 . (2)与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项 ”不同，只有当a，b同号时才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是 与 ；当a，b异号时没有等比中项． 探究2：在等比数列的通项公式中， an与的关系与以前学过的什么函数有关 类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是函数当时的函数值，即（如图所示）. 反之，任给指数函数为常数，，且），则，构成一个等比数列，其首项为，公比为. 注意：如果一个数列的通项公式为常数，那么这个数列必定为等比数列. 思考：类比指数函数的性质，你能说说公比等比数列的单调性吗？ 当时，是一个常数列； 当时，，其单调性如下表： 指数函数的单调性 单调递减 单调递增 数列的单调性 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 例1.等比数列{an}中， ， ，则 与 的等比中项是( ) A. B.4 C. D. 解：由题， ， 所以 ， ， 故 与 的等比中项为 . 归纳总结 由等比中项的定义可知： . 这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项． 反之，若 ，则 ，即a，G，b成等比数列． 例2. 已知数列{an}中， 在时恒成立，求证： {an}是等比数列. 证明：根据题意有 ， 因此，从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，所以{an}是等比数列. 方法归纳 判定等比数列的方法： (1)定义法： 或 (2)等比中项法： (3)通项法： 证明：设等比数列{an}的公比为q，则 am=a1qm-1，an=a1qn-1, as=a1qs-1，at=a1qt-1, 所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2, asat=(a1qs-1) (a1qt-1) = a12qs+t-2, 因为m+n=s+t(m, n, s, t∈N*), 所以aman=asat . 探究3：等比数列{an}中, 已知m+n=s+t(m, n, s, t∈N*)，证明aman=asat . 一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数满足+t=p+q，则 asat=apaq. 特别地，如果2=p+q，则as2=apaq. 例3. 在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 解：（方法一）依题意，由等比数列的通项公式，得解得 当时，插入的3个数分别为 当时，插入的3个数分别为 因此插入的3个数分别为或. （方法二）因为等比数列共有5项，即，，，，， 又因为所以 即，又因为要与同号，所以 类似地，有而且与同号，因此 当 =2时， =； 当 = 2时， = ； 因此插入的3个数分别为或. 1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 归纳总结 1. 在等比数列{an}中，a3 a5 = 14，则 a1 a7 等于（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 2.已知等比数列{an}中, a5+a7=8, 则a4(a6+2a8)+a3a11的值为( ) A.128 B.64 C.16 D.8 D B 3.已知等比数列{an} 的各项均为正数，且a5a6+a4a7=6 ，求log3a1+ log3a2 +…+ log3a10. 解:∵等比数列{an}的各项均为正数, 且a5a6+a4a7=6， ∴ a5a6=a4a ... ...
