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课件网) 6.1.2 课时1 瞬时变化率与导数 从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A,B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量的方向相同，那么到底什么是瞬时速度呢？ 1. 通过实例分析，体会由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程； 2.了解瞬时变化率的概念，理解导数的概念； 3. 会应用定义求简单函数的导数，并能说出其实际意义. 问题1：已知物体运动的位移与时间的关系为 （1）分别求出物体在与这两段时间内的平均速度. 根据平均速度等于平均变化率可知，在内，物体的平均速度为 . 在这段时间内物体的平均速度为 . 问题1： （2）思考物体在时的速度该如何定义. 如果记时物体速度为，那么当很小时， 物体在以2和 端点的闭区间上的平均速度应该是的近似值，即 0.5 而且，无限接近于0时近似会越来越精确，此时，可以看出是无限接近于2的. -0.1 -0.01 -0.001 0.001 0.01 0.1 区间 平均速度 0.5 1.95 1.995 1.9995 2.0005 2.005 2.05 问题1： （2）思考物体在时的速度该如何定义. 因此可以认为时，是物体的速度， 这个速度通常称为瞬时速度（简称为速度）. 0.5 问题1： （3）指出这一速度的实际意义. 这一速度的实际意义是：在附近的任意一小段时间内，物体运动的位移的近似值为 你知道哪些生活中的瞬时速度？ 0.5 一、瞬时变化率与导数 一般地，设函数y=f (x)在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f (x)在x=x0处的瞬时变化率.此时，也称f (x)在x0处可导，并称k为f (x)在x=x0处的导数，记作 f '(x0)=k. 为了简单起见，“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时，→k， 或者写成=k，即f '(x0)=. 前面的问题中， 时的瞬时速度实际上就是函数在处的导数 即 例1.已知函数，求在处的导数 解：当自变量在处的改变量为时，平均变化率 . 可以看出，当无限接近于0时，无限接近于-6，因此 例2.在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作称为总成本函数.为了方便起见，经济学家们总是假设Q能在某一区间内连续的取值，并将总成本函数C在数的导数称为在的边际成本，用MC表示，即MC.已知某产品的总成本函数，求边际成本MC，并说明实际意义. 解：设Q=300时产量的改变量为，则 . 令 ，可得MC 因此，产量为300时的边际成本为600. 其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加600. 方法归纳 求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限. 例3.某正方形铁板在时，边长为10cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为时正方形的边长为10 ，其中为常数，设此时正方形的面积为，且求并解释其实际意义. 解：依题意可知 ， 设=0时温度的改变量为，则 . 令 ，可得 这表示在时，铁板面积对温度的瞬时变化率为，实际意义是，在时，温度的该变量很小时，铁板面积的改变量的近似值. 1.一质点的运动方程为，其中表示位移(单位：)，表示时间(单位：). (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)求质点在时的瞬时速度. 解：(1)该质点在这段时间内的平均速度为 (2)由(1)知，当趋近于时，趋近于， ∴该质点在时的瞬时速度为. 2.一质点按规律作直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在时的瞬时速度为,求常数的值． 解：因为 , 所以. 在时,瞬时速度为, 即,所以. 1.瞬时速度： 2.求导数的步骤： 一差、二比、三极限(
