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课件网) 6.1.3 基本初等函数的导数 1.理解导函数的概念． 2.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2， ，的导数． 3.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 探究1.已知函数，任取一个实数，判断在是否可导，如果可导，求出，并观察与关系. 设自变量在附近的改变量为，则函数在以， 为端点的闭区间上的平均变化率为 . 可以看出，当无限接近于0时，平均变化率无限接近于，因此在处可导，而且 显然随着变化而变化，而且的值确定之后，也就确定了. 例如，时， 时， 这就说明，是的函数. 一、函数的导数 如果f (x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f ′(x) ．于是，在区间(a，b)内，f ′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f (x)的导函数．记为f ′(x) 或y ′(或y ′|x) ． 例1.分别求出下列函数的导数： （1） 期中C是常数； （2） ； （3） （4） （5）. 解：(1)根据定义可知 (2)根据定义可知 (3)根据定义可知 =[ =. 例1.分别求出下列函数的导数： （1） 期中C是常数； （2） ； （3） （4） （5）. (4)根据定义可知 . (5)根据定义可知 ===. 上述结果表明，例1中的函数在它们的定义域或指定的范围内都是可导的，这也就说明对应的曲线在各点处都存在切线. 而且，我们还能根据导函数来分析不同点切线有什么联系或不同. 例如，由的导数是 偶函数可知，在曲线上，自变量互为相反数的两点，它们的切线斜率相等；而且，因为时， 增函数，这就说明曲线在那一部分， 自变量越大，切线的斜率越大，如图所示. 同样，由的导函数为 也能得到类似的结论，只是曲线在的那一部分，自变量越大，切线的斜率越小，如图所示. 为了简单起见，前面我们得到的有关导函数的结论通常简写为: ； ； ； ； ； 探究2.观察上述导函数的结论，归纳出（ ）的导函数具有形式(即写出的结果). 注意到 ，，所以可以改写为 ； 类似地， 可以改写为 . 结合 x和 ，可以归纳出 . 例2.已知求 以及曲线在点(4，)处的切线方程. 解：因为 ， 所以 又因为 所以切线的方程为 ，即 例3.已知函数求 ， . 解：在 ，中令，可得 ， 因此 在 ，中令，可得 ， 即， 因此. 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)＝C(C为常数) f ′(x)＝_____ f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝_____ f (x)＝sin x f ′(x)＝_____ f (x)＝cos x f ′(x)＝_____ f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_____(a＞0，且a≠1) f (x)＝ex f ′(x)＝_____ f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_____(a＞0，且a≠1) f (x)＝ln x f ′(x)＝_____ 0 例4.已知函数
. （1） 求曲线
在点
处的切线方程； （2） 求曲线
过点
的切线方程. 解：（1） 由
，得
， 故切线斜率
， 又
， 所以切线方程为
，即
. ① 当
为切点时，由（1）知，切线方程为
； ②当
不为切点时， 设切点为
，则切线斜率
， 故切线方程为
， 又切线过点
，所以
， 解得
（舍去）或
， 因此切线方程为
. 综上，过点
的切线方程为
或
. 例4.已知函数
. （2） 求曲线
过点
的切线方程. 归纳总结 利用导数的几何意义解决切线问题： (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 1.若f (x)=x2， g (x)=x3 ，则满足f (x)+1=g(x)的x值为___ ... ...
