6.1.4 求导法则及其应用 课件（2课时）

(课件网) 6.1.4 课时2 复合函数的求导法则及应用 1.了解复合函数的概念. 2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数. 回顾：导数的四则运算法则 和、差：= ； 积：， 特殊：； 商：； . 情境：假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且 那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有 复合函数 一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x)) 有意义，且称 为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量. 复合函数可分为内外两层： f (u)为外层函数 g(x)为内层函数. 问题1：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的： (1)； (2)； (3)； (4). () () () () 问题2：已知 . (1)可以由与得到吗？ (2)分别求出有什么关系？，并总结它们之间的关系. (1)如果在中，令，则有 . 问题2：已知. (2)分别，并总结它们之间的关系. (2)， 所以 . 又因为，所以 . 一般地，如果函数与的复合函数为 ， 则可以证明，复合函数的导数与之间的关系为 这一结论也可以表示为 即：y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 复合函数求导法则 . . 解：(1)函数h(x)可以看作函数和的复合函数，根据复合函数求导法则，因此 =5. (2)函数可以看成是由和的复合函数，因此 =. 例1.求下列函数的导数 (1)h(x) (2)f(x) (3); (4) 例1.求下列函数的导数 (1)h(x) (2)f(x) (3); (4) (3)函数可以看成是由和的复合函数，因此 = =. (4)函数可以看成是由和的复合函数，因此 = =cosu. 方法归纳 求复合函数导数的步骤 分解 选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系 ， ； 求导 分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求，再求; 回代 计算，并把中间变量转化为自变量的函数. 1.函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos2x－x2sin2x B．y′＝2xcos2x－2x2sin2x C．y′＝x2cos2x－2xsin2x D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x 2.已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(1)＝_____. B 3. 求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝； (4)y＝x2－. 解：(1)y′＝2x－2x－3. (2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (3)y′＝. (4)∵y＝x2－＝x2－sin x，∴y′＝2x－cos x. 结合以下关键词谈谈你的收获： 1.复合函数； 2.复合函数的导数法则； 3.复合函数求导法则的综合应用.(课件网) 6.1.4 课时1 函数的四则运算求导法则及应用 我们知道，由基本初等函数经过加、减、乘、除等运算可以构造出新的函数，例如，由与相加可以得到新函数 那么，构造出新函数的导函数与原有函数的导函数之间是否有联系呢？ 1.掌握导数的四则运算法则. 2.能用导数的四则运算法则求简单函数的导数. 问题1：设由，且，猜测 的关系. . 猜测： 利用导数的定义，请证明此猜测. 设，则 +， 所以， 即=+. 证明： 问题1：设由，且，猜测 的关系. 一般的如果与都可导，则 即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和. =+ 类似地，如果都可导，则 即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差. = 求导法则 和 差 上述法则可以推广到任意有限个函数，即 . 例1：求下列导数 （1） （2） 解：原式 解：原式 问题2：如果都可导，你认为 的导数与有什么关系？用实例验证你的猜想. 一般来说， 例如，当时，，因此 ， ， 即 事实上，可以证明，当都可导都可导时，有 . 即两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数. 特 ... ...