浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题（含详解）

浙江省杭州学军中学2024 2025学年高三下学期3月月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．已知集合，则中元素的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ） A． B．3 C．3或 D．或7 3．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ） A．511 B．61 C．41 D．9 4．设是锐角，，则（ ） A． B． C． D． 5．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D．2 7．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题） 9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 10．如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ） A．存在点P使得 B．直线与点P的轨迹有公共点 C．点P运动轨迹长为 D．三棱锥P-BCD体积最大值为8 11．函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A．函数的图象关于直线对称 B．当时，的最大值为－1 C．函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D．函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 三、填空题（本大题共3小题） 12．已知复数z满足，则 ． 13．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 . 14．我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有 种. 四、解答题（本大题共5小题） 15．如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，． （1）求； （2）若，求四边形的面积． 16．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且． (1)求证：平面； (2)设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 17．已知实数，设． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点. (1)求的离心率； (2)若△的重心为，点，求的最小值； (3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程. 19．对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数. (1)写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简； (2)证明：； (3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求． 参考答案 1．【答案】A 【详解】集合， 则元素的个数是3个. 故选A. 2．【答案】A 【详解】因为，所以. 因为共线，所以，解得或. 又反向共线，代入验证可知时为同向，舍去. 而满足条件，所以. 故选. 3．【答案】B 【详解】由可得， 即，所以，两式相除可得； 即， 由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2 ... ...