重庆市第八中学校2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题（含详解）

重庆市第八中学校2024 2025学年高三下学期3月月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设复数（、，为虚数单位），则“是纯虚数”的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C．且 D．且 3．已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（ ） A． B． C． D． 6．锐角中的角满足，则（ ） A． B． C． D． 7．小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A． B． C． D． 8．如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（ ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 二、多选题（本大题共3小题） 9．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ） A． B．， C．函数在定义域内是减函数 D．函数的值域为 10．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 11．已知数列满足，，前项和为，则下列选项中正确的是(参考数据:) （ ） A． B． C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 三、填空题（本大题共3小题） 12．若，则 . 13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 14．设，为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为 四、解答题（本大题共5小题） 15．如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 16．设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 17．已知、是离心率的椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且的最小值为. (1)求椭圆的方程； (2)若为第一象限内椭圆上一点，点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点. (i)求证:直线和的斜率之积为定值; (ii)当最大时，求直线方程. 18．信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般的，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验的所有可能结果为、、、，且，，定义随机试验信息熵. (1)记随机试验为抛一枚质地均匀的硬币，随机试验为抛一枚质地不均匀的硬币，请通过计算比较与的大小，并说明实际意义； (2)一枚质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.随机试验:连续次抛掷这枚硬币正面朝上的次数是否为偶数.证明：当增加时，增加. 19．已知函数. (1)当，，时，求证:; (2)当时，若有三个零点. (i)求实数的取值范围; (ii)若，求证:. 参考答案 1．【答案】B 【详解】因为，所以或或或， 解得或或或， 所以， 由，即，所以， 所以. 故选B. 2．【答案】A 【详解】因为“是纯虚数”“且”， 故“是纯虚数”成立的一个必要不充分条件是“”， 故选A． 3．【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离， 所以圆上动点到的最小距离为. 故选A. 4．【答案】C 【详解】在数列中，，，则， ，，， 以此类推可知，对任意的，， 因为，所以，. 故选C. 5．【答案】D 【详解】 ... ...