3.3二项式定理与杨辉三角 1．在的展开式中，的系数为( ) A.3 B.6 C.60 D.30 2．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为( ) A.31 B.30 C.29 D.28 3．的展开式中x的系数为( ) A. B. C. D. 4．的展开式中的常数项为( ) A. B.20 C. D.30 5．若对,恒成立,其中a,,则( ) A. B.0 C.1 D.2 6．的展开式中x的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 7．的展开式中的系数为_____. 8．二项式的展开式中的常数项为_____. 9．的展开式中的系数为_____.（用数字作答） 10．若展开式中的常数项为,则实数_____. 11．若的展开式中的常数项为，则_____. 12．的展开式中的系数为_____.（用数字作答） 13．若,且,则_____. 14．在二项式的展开式中,系数为有理数的项的个数是_____. 15．二项式的展开式中，项的系数是_____.（用数字填写答案） 16．在的展开式中，的系数为80，则实数k的值为_____. 17．的二项展开式中的系数为_____. 18．在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 19．二项式的展开式的常数项是_____. 20．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到一个如图所示的分数三角形，称为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可看出，存在x使得，求x的值. 参考答案 1．答案：C 解析：在展开式中，要求项，说明y的指数为1，即. 此时剩余次数为。 每个项贡献x的指数为2，每个x项贡献指数为1. 总x指数为7，因此： 结合，解得：, 根据多项式定理，系数为： 2．答案：C 解析：令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为 ，且， 所以当时，； 当时，， 所以二项式展开式中含的项为， 所以二项式展开式中的系数为29. 故选：C. 3．答案：D 解析：对于,由二项展开式的通项得, 令解得, 则所求系数为, 故选：D. 4．答案：A 解析：二项式展开式的通项为, 令,解得,所以 故选:A 5．答案：D 解析： , ,即. 故选:D 6．答案：D 解析：对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D 7．答案：220 解析：的展开式中项为， 所以所求系数为. 故答案为：220 8．答案：60 解析：展开式的通项为. 令,得,则的常数项为. 故答案为：60. 9．答案：120 解析：的展开式通项为， 因为， 在的展开式通项中，令， 在的展开式通项， 令，可得， 因此，展开式中的的系数为. 故答案为：120. 10．答案：1 解析：由二项式展开式的通项为, 令,可得, 代入通项公式可得,解得. 故答案为:1. 11．答案：1 解析：法1：因为的展开式的通项 ， 令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取， 其余3个取，即常数项为，由，解得. 故答案为：1. 12．答案：-30 解析：的展开式的通项公式为, 故的展开式中的系数为, 故答案为：-30. 13．答案：7 解析：由二项式展开式的通项可得, 又,即,解得, 又,所以, 所以. 故答案为:7 14．答案：6 解析：二项展开式的通项公式为, 第项的系数为, 当,2,4,6,8,10即,3,5,7,9,11时,系数为有理数, 这样的项的个数为6, 故答案为:6 15．答案： 解析：二项展开式的通项公式为， 令，得，，所以项的系数是. 故答案为： 16．答案：2 解析：由二项式的展开式的通项为， 其中，因为展开式中的系数为80， 令，可得，解得. 故答案为：2. 17．答案：24 解析：由题意知的展开式的通项为， 令， 所以， 故的系数为24， 故答案为：24 18．答案：280 解析：因为的通项为， 令，得，所以的系数为. 故答案为：280. 19．答案： 解析：的展开式的通项为 令，解得，所以展开式的常数项. 故答案为：. 20．答案： 解析：观察题图中给出的“莱布尼茨三角形”， 及给定的关系式：， 我们可以知道，下一行两分数之和等于肩上的上一行的分数，故. ... ...
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