8.1.3 向量数量积的坐标运算 课件(共19张PPT)2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修3

(课件网) 8.1.3 向量数量积的坐标运算 人教B版(2019)必修第三册 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式，解决平面几何问题. 平面内建立了直角坐标系，点A可以用什么来表示 平面向量是否也有类似的表示呢 a y O x e1 e2 a·e2 a·e1 回顾：在平面直角坐标系中，分别给定与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量 e1，e2，则对平面内的向量a，有a= xe1+ ye2，其中(x，y)就是向量 的坐标，记作a= (x，y)；且{e1，e2}是一组单位正交基底，即 e1·e1= e2·e2= 1，e1·e2= e2·e1= 0； 因此a·e1= (xe1+ ye2)·e1= xe1·e1+ ye2·e1= x； 同理，a·e2 = y，所以a= (a·e1)·e1 + (a·e2)·e2； 即a在单位正交基底{e1，e2}下的坐标为 (a·e1，a·e2)， （如图所示）. 问题1：设a，b，如何用坐标表示a· b呢？ 即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{e1，e2}， 使得 a= x1e1+ y1e2，b= x2e1+ y2e2， 因此a·b = (x1e1 + y1e2)·(x2e1+ y2e2) = x1x2e1·e1+ x1y2e1·e2 + y1x2e2·e1+ y1y2e2·e2 = x1x2e12 + y1y2e22 = x1x2 + y1y2. 从而 问题2：若 ，该如何计算向量的模 || 呢？ 由可知，，即 . 问题3：设， 都是非零向量， 如何用坐标表示向量，的夹角 θ？ 由上可知，，，， 又，所以 拓展：平面直角坐标系中两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 =(x2 – x1，y2 – y1)， 从而 ·= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2，因此 || = . （1）向量的数量积坐标公式：； （2）向量的模坐标公式：，； （3）向量夹角坐标公式： （4）两点间的距离公式：|| = . 讨论1：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？ 两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导； 若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解， 若已知两向量的坐标，则可选用a·b＝x1x2＋y1y2求解． 讨论2：若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角，对吗？ 不对， 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角． 例1 已知向量a=(-1，2)，b=(3，2). (1)求a·(a-b)；(2)求(a+b)·(2a-b)；(3)若c=(2，1)，求(a·b)·c，a·(b·c). 解：(1)(方法一)∵a=(-1，2)，b=(3，2)，∴a-b=(-4，0)， ∴a·(a-b)=(-1，2)·(-4，0)=(-1)×(-4)+2×0=4. (方法二)a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1，2)+(3，2)=(2，4)，2a-b=2(-1，2)-(3，2)=(-5，2)， ∴(a+b)·(2a-b)=(2，4)·(-5，2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a·b)·c=[(-1，2)·(3，2)]·(2，1)=(2，1)， a·(b·c)=(-1，2)·[(3，2)·(2，1)]=(-8，16). 例2 已知向量a=(1，2)，b=(-3，4)，求cos. 问题4：设a，b，如何用坐标表示a⊥b呢？ 由向量垂直可知，如果⊥，则；反之，如果，则⊥. 换用两向量的数量积坐标表示，即为： 如果⊥，则 x1x2 + y1y2 = 0；反之，如果 x1x2 + y1y2 = 0，则⊥. 综上所述，有 ⊥ x1x2 + y1y2 = 0 例3 已知a＝(4，－3)，b＝(－1，2).若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值. 解：∵(a－λb)⊥(2a＋b)， ∴(a－λb)·(2a＋b)＝0， ∴2a2＋(1－2λ)a·b－λb2＝0， ∵a2＝25，b2＝5，a·b＝－4－6＝－10， ∴50－10(1－2λ)－5λ＝0， 解得λ＝－. 例4 已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 证：建立如图所示的平面直角坐标系，设A(a，0)，则B(0，a)，E(x，y) ... ...