中小学教育资源及组卷应用平台 第21讲 圆的基本性质 【考点梳理】 1．圆的基本概念及性质 (1)基本概念 ①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点叫圆心，定长叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O. ②弧和弦：圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径 是最长的弦． ③圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角． ④圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角． ⑤等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧． (2)性质： ①对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任一条直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． ②旋转不变性：圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 2．垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．弦、弧、圆心角的关系定理及推论 ①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． ②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 4．圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 注意：圆周角定理运用在“同圆或等圆”中，一条弦对应两条弧，对应两个互补的圆周角；一条弧只对应一个圆心角，对应无数圆周角． 5．四边形和圆 圆内接四边形的对角互补，如图，∠D＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°. 【高频考点】 考点1：垂径定理 【例题1】如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ） A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm 【考点】垂径定理 【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：连接OB， ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=． ∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°． ∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=． 故选D． 归纳：1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧． 2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解． 3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长． 考点2：圆周角定理及其推论 【例题2】（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 归纳：利用圆周角定理在解答具体问题时，找准同弧所对的圆周角及圆心角，然后利用圆周角定理进行角度的相关计算，常作的辅助线有：已知直径，作其所对的圆周角；已知90°圆周角作其所对弦，即直径．同圆的半径相等，有时需要连接半径，用它来构造等腰三角形 ... ...
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