中小学教育资源及组卷应用平台 第22讲 与圆有关的位置关系 【考点梳理】 1．点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： (1)点P在圆上 d＝r； (2)点P在圆内 dr． 2．直线和圆的位置关系 (1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离． 直线和圆的位置关系 图形 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 公共点名称 直线名称 相交 2 d＜r 交点 割线 相切 1 d＝r 切点 切线 相离 0 d>r 无 无 (2)切线的性质： ①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 ③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (4)①切线长：经过圆外一点作圆的一条切线；这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长． ②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 3．三角形的外接圆和内切圆 名称 图形 内、外心 性质 三角形的外接圆 三边垂直平分线的交点称为三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内切圆 三条角平分线的交点称为三角形的内心 三角形的内心到三角形三条边的距离相等 【高频考点】 考点1：圆的切线的判定与性质 【例题1】如图，AB是⊙O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE. (1)若∠ADC＝30°，求的长； (2)求证：△DAC≌△ECP； (3)在点P运动过程中，若tan∠DCE＝，求AD的长． 【点拨】 (1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得∠DOB＝60°，利用弧长公式求的长；(2)先证得四边形DCPE是矩形，从而证明△DAC≌△ECP；(3)可以利用tan∠DCE在Rt△DAC中获得三边的数量关系，在Rt△AOC中建立方程求解． 【解答】 解：(1)∵∠ADC＝30°，OA＝OD，∴∠OAD＝30°. ∴∠DOB＝60°. ∴l＝＝. (2)证明：连接OP. ∵AO＝OP，点C是AP的中点，∴∠DCP＝90°. ∵DE是⊙O的切线，∴∠CDE＝90°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°.∴四边形DCPE是矩形．∴DC＝EP. 又∵AC＝CP，∠ACD＝∠CPE＝90°，∴△DAC≌△ECP(SAS)． (3)由(2)知，四边形DCPE是矩形，△DAC≌△ECP， ∴∠ADC＝∠CEP＝∠DCE. ∵tan∠DCE＝，∴tan∠ADC＝. ∴设AC＝x，则DC＝2x，AD＝x. 在Rt△AOC中，OC＝2x－5，AO2＝AC2＋OC2， ∴52＝x2＋(2x－5)2，解得x1＝0(舍去)，x2＝4. ∴AD＝4. 归纳：1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径”．这两种情况可概括为一句话：“有交点，连半径，无交点，作垂线”． 2．求线段长度时通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求解． 考点2：圆的切线综合应用 【例题2】已知：是的外接圆，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值； （3）在（2）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3） 【分析】（1）连接，根据三角形外角定理得，由圆心角是圆周角的一半得，再用外角定理得，两边加上等腰的两个相等底角得，即得； （2）根据和的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，转化成与，，相关的角，最后得到，即得； （3）过作于，连接，如图所示，根据（1）（2）中结论，由垂径定理及等腰直角三角形的判定与性质确定，设，则，由 ... ...
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