中小学教育资源及组卷应用平台 第23讲 与圆有关的计算 【考点梳理】 1．弧长与扇形面积的相关计算 (1)半径为r的圆的周长：C＝2πr ；半径为r，n°的圆心角所对的弧长：l＝； (2)半径为r的圆的面积：S＝πr2；半径为r，圆心角为n°，弧长为l的扇形面积：S扇形＝＝lr. 2．圆锥的侧面积和全面积 (1)圆锥与其侧面展开图的关系：圆锥侧面展开图是扇形； 圆锥底面周长＝其侧面展开所得扇形的弧长；圆锥母线长＝其侧面展开所得扇形的半径； (2)圆锥侧面积＝＝πrl； 圆锥全面积＝侧面积＋底面积＝πrl＋πr2(r表示底面圆半径，l表示圆锥的母线长)． 3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法：直接用公式求解； (2)割补法：将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解； (3)拼凑法：将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影移位后，组成规则图形求解； (4)等积变形构造方程法：将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解； (5)去重法：将阴影部分图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差求解． 【高频考点】 考点1：弧长计算 【例题1】（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留） 【答案】 【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：， 故答案为：． 归纳：1．求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可． 2．同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长．边长为a的正n边形的渐开线第m段弧长为. 考点2：阴影部分面积的计算 【例题2】如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解． 【详解】如图，连接, ， 边长为的正方形内接于，即， ，，为的直径，， ，分别与相切于点和点， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 归纳：在圆中求阴影部分面积大致有以下方法： (1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积； (2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积； (3)可以利用等积变换求阴影部分的面积； (4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积； (5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积． 考点3： 关于圆锥的计算 【例题3】（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤 ... ...
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