中小学教育资源及组卷应用平台 第24讲 尺规作图 【考点梳理】 1．尺规作图的作图工具 圆规和没有刻度的直尺 2．基本尺规作图 类型一：作一条线段等于已知线段 步骤：①作射线OP； ②以O为圆心，a为半径作弧，交OP于A，OA即为所求线段． 图示： 类型三：作线段的垂直平分线 步骤：①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N点； ②连接MN，直线MN即为所求垂直平分线． 图示： 类型四：作一个角等于已知角： 步骤：①以O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； ②作射线O′A； ③以O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A于点M； ④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N； ⑤过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求角． 图示： 类型五：过一点作已知直线的垂线 步骤：点在直线上：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A，B两点； ②分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径在直线两侧作弧，交点分别为M，N； ③连接MN，MN即为所求垂线． 点在直线外：①在直线另一侧取点M； ②以PM为半径画弧，交直线于A，B两点； ③分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，交M同侧于点N； ④连接PN，则直线PN即为所求的垂线． 图示： 3．常见几种基本尺规作图作三角形 ①已知三边作三角形； ②已知两边及其夹角作三角形； ③已知两角及其夹边作三角形； ④已知底边及底边上的高作等腰三角形； ⑤已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．作图的一般步骤 (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明； (6)讨论． 步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹. 【高频考点】 考点1：简单尺规作图 【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：如图，∠α，线段a. 求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a. 【解析】：作图如图，(1)作∠EAF＝∠α；(2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a；(3)过D作MN⊥AG，MN与AE，AF分别交于B，C.则△ABC即为所求作的等腰三角形 归纳：1．熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹． 2．平时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程． 3．会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化． 4．提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性． 考点2： 复杂尺规作图 【例题2】如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． （1）如图1，在线段上找一点D，使得是三角形的中线． （2）如图2，在线段上找一点E，使得； （3）如图3，在三角形内寻找格点P，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用矩形对角线相互平分，即可得到的中点，即可解答； （2）分别取格点，，使，且，连接，交于点E，结合相似三角形的判定与性质可知，点E即为所求； （3）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，利用圆周角定理即可解答． 【详解】（1）解：如图1，利用矩形对角线相互平分，可得， 是三角形的中线； （2）解：如图2，取格点，，使，且，连接，交于点E， ， ， ， ； （3）解：如图3，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，连接，，， 根据垂直平分线的性质可得， 在以点为圆心，长度为半径的圆上， 根据圆周角定理可得， 故点P即为所求． 考点3： 关于尺规作图的应用 【例题3】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上． （1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）； （2） ... ...
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