中小学教育资源及组卷应用平台 难题突破专题七 图形变换综合探究题 图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面： 1．熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法． 2．结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法． 3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等． 类型1 平移变换问题 例题：（2017湖南岳阳）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2． （1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1S2= 12 ； （2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1S2的值； （3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α． （Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）． （Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程． 【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=22=，S2=（4）2=4，由此即可解决问题； （2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得=，推出=，推出xy=8，由S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，可得S1S2=xy=xy=12； （3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，可得S1S2=（ab）2sin2α． （Ⅱ）结论不变，证明方法类似； 【解答】解：（1）如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°， ∵DE∥BC，∠EDF=60°， ∴∠BND=∠EDF=60°， ∴∠BDN=∠ADM=60°， ∴△ADM，△BDN都是等边三角形， ∴S1=22=，S2=（4）2=4， ∴S1S2=12， 故答案为12． （2）如图2中，设AM=x，BN=y． ∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A， ∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B， ∴△AMD∽△BDN， ∴=， ∴=， ∴xy=8， ∵S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y， ∴S1S2=xy=xy=12． （3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y， 同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab， ∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα， ∴S1S2=（ab）2sin2α． Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y， 同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab， ∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα， ∴S1S2=（ab）2sin2α． 【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 类型2 折叠问题 例题：（2017江苏徐州）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点． （1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点． ①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度； ②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值= ． 【考点】RB：几何变换综合题． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN=BD=，于是得到结论； （3）如图③，作Q关于BC的对 ... ...
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