中小学教育资源及组卷应用平台 难题突破专题九 二次函数为背景的动态问题 以函数为背景的动态问题是近年来中考的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解． 类型1二次函数动态下的线段、周长、面积最值问题、 例题：（2024 重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点（﹣1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA＝4． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值； （3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK＝∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM，则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F最小，即可求解； （3）∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC，则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2，即可求解；当点Q（Q′）在AC上方时，同理可解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，OC＝4， ∵tan∠CBA＝4，则OB＝1， 即点B（1，0）， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4； （2）由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0）、（0，4），则点F（，2）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+4， 设点P（x，﹣x2+3x+4），则点D（x，x+4）， 则PD＝﹣x2+3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x， 当x＝﹣2时，PD取得最大值，则点E（﹣2，0）、D（﹣2，2），则MN＝2， 将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM， 则四边形MNA′A为平行四边形，则AM＝A′N， 则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F＝2+＝2+为最小； （3）将该抛物线沿射线CA方向平移，当向左平移m个单位时，则向下平移了m个单位， 则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2+3（x+m）+4﹣m， 将点D（﹣2，2）的坐标代入上式得：2＝﹣（﹣2+m）2+3（﹣2+m）+4﹣m， 解得：m＝2， 则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2+3（x+m）+4﹣m＝﹣x2﹣7x﹣8， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣4x+4， 当点Q在AC下方时， ∵∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC， 则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2， 联立上式和新抛物线的表达式得：﹣4（x+2）+2＝﹣x2﹣7x﹣8， 解得：x＝﹣2（舍去）或﹣1， 即点Q（﹣1，﹣2）； 当点Q（Q′）在AC上方时， 同理可得，点H′（﹣4，）， 由点D、H′的坐标得，直线DH′的表达式为：y＝﹣（x+2）+2， 联立上式和新抛物线的表达式得：﹣（x+2）+2+2＝﹣x2﹣7x﹣8， 解得：x＝﹣2（舍去）或﹣， 即点Q（﹣，）； 综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣，）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 同步训练：（2025·四川凉山模拟）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)①当时，有最大值，最大值为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）① ... ...
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