中小学教育资源及组卷应用平台 难题突破专题四 特殊三角形存在性问题 特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解． 类型1 等腰三角形存在性问题 例题（2024 雅安）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，即可求解； （3）当∠EDB为直角时，则直线DE的表达式为：y＝﹣（x﹣5）+8，则点E（0，），再分类求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3， 则a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y＝x﹣3， 设点P（x，x2﹣4x+3），则点Q（x，x﹣3）， 则PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x， ∵﹣1＜0， 故PQ有最大值， 此时x＝，则y＝x2﹣4x+3＝﹣， 即点Q（，﹣）； （3）存在，理由： 由点C、Q的坐标得，直线CQ的表达式为：y＝﹣x﹣3， 过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQA＝∠QCO， ∵∠CQD＝2∠OCQ，∠TQA＝∠QCO， 则∠CQT＝∠QQT， 即直线AQ和DQ关于直线QT对称， 则直线DQ的表达式为：y＝（x﹣）﹣， 联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3＝（x﹣）﹣， 解得：x＝（舍去）或5， 即点D（5，8）； 设点E（0，y），由B、D、E的坐标得，BD2＝68，DE2＝25+（y﹣8）2，BE2＝9+y2， 当DE＝BD时， 则68＝25+（y﹣8）2， 解得：y＝8±，即点E（0，8±）； 当DE＝BE或BD＝BE时， 同理可得：25+（y﹣8）2＝9+y2或9+y2＝68， 解得：y＝5或±， 即点E（0，5）或（0，±）； 综上，点E（0，8±）或（0，5）或（0，±）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 解题方法点析 对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形． 类型2 全等（相似）三角形存在性问题 例题（2024 内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后代入y＝﹣x2+bx+c，求出b、c的值即可； （2）由对顶角的性质性质知∠AEC＝∠DEB，若存在△BDE和△ACE相似，则有△ACE∽△BDE和△ACE∽△DBE两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设点D（m，﹣m2+m+6），E（m，﹣2m+6），F（n，﹣n2+n+6），G（n，﹣2n+6），则DE＝﹣m2+3m，FG＝﹣n2+3n，根据菱形的性质得出﹣m2+3m＝﹣n ... ...
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