天津市第一中学2025届高三下学期4月月考数学试卷（含答案）

天津市第一中学2025届高三下学期4月月考数学试卷 一、单选题：本大题共9小题，共45分。 1.设集合，，则 ． A. B. C. D. 2.“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数的大致图象是 ． A. B. C. D. 4.已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6.下列说法不正确的是( ) A. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为 7.葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为 A. B. C. D. 8.将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则以下结论错误的是( ) A. 为奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 在上恰有个零点 9.已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共30分。 10.已知，的共轭复数为，则 ． 11.的展开式中，的系数为 ． 12.已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为，则的数学期望 ；若已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为 ． 13.已知点是抛物线上的一点，过点作的一条切线，为切点，点在的准线上的射影为点当，，三点共线时， ． 14.已知在平行四边形中，，，，是线段的中点，若，与交于点，，则的值为 若，则的最小值是 ． 15.已知函数，，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.在中，． 求角； 若． (ⅰ)求的值； (ⅱ)若，求的面积． 17.如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 求点到平面的距离． 18.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，分别为椭圆的上下顶点，且． 求椭圆的方程； 已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点． 设的面积分别为，若，求的最大值； 若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程． 19.若数列的首项，对任意的，都有为常数，且，则称为有界变差数列，其中为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前项和为． 当时，证明：． 当中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求的最大值； 当中各项都取最大值时，，数列的前项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 20.已知函数． 若，求在处的切线方程； 求的单调区间； 若，且，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解：因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以． ，由余弦定理，，又， 整理得：，即，代入可得， 由余弦定理，； ，由(ⅰ)得：， 解得， ． 17.解：在三棱柱中，，为，的中点，， 平面，平面， 平面，， 在三角形中，，为中点，， ，平面，平面． 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 在直角三角形中，，，， ，，，， ，，， ... ...