数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知圆与轴相切于点，过点直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上 下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上 下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中（ ） A. 前三项系数之和为112 B. 二项式系数最大的项是第3项 C. 常数项为240 D. 所有项的系数之和为1 10. 已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点中心对称 11. 已知椭圆为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，延长，交椭圆于点，且为椭圆的左顶点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则椭圆的离心率为 B. 若，则椭圆的离心率为 C D. 若，则 三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，集合，若集合满足 ，则这样的集合共有_____个. 13. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为_____. 14. 在维空间中，以单位长度为边长“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则6维空间“立方体”的顶点数为_____；若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则_____. 四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 新增新能源汽车万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 （1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性. （2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量； 参考数据：.参考公式：. 17 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有2个零点，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为，求证：. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线，直线与双曲线交于点，且的内切圆半径恰为. （ ... ...
