2024-2025学年河南省部分名校高三（下）第三次月考 数学试卷（4月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若复数满足，则的虚部是( ) A. B. C. D. 3.在中，向量，若为锐角，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知，且，则( ) A. B. C. D. 6.某校学生会有男生人，女生人，现从男生中选出人，从女生中选出人参加志愿活动，则不同的选法种数为( ) A. B. C. D. 7.已知函数是上的增函数，则的最小值是( ) A. B. C. D. 8.与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线段叫做公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条如图，在四面体中，是异面直线和的公垂线段，为四面体的内切球半径，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正数，满足，则( ) A. B. C. D. 10.已知函数，则下列结论正确的是( ) A. 直线是的图象的一条对称轴 B. 为奇函数 C. 在区间内有两个零点 D. 若且，则的最小值为 11.如图，已知双曲线的焦距为，点为双曲线右支上一点位于第一象限，且，为的平分线上一点，满足，，则( ) A. B. C. 离心率 D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列满足是公差为的等差数列，若，则的通项公式为 _____． 13.在对某中学高三年级学生体重单位：的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，，则估计该校高三年级学生体重的方差为_____． 14.已知实数，满足，记的取值集合为，则中的整数有_____个 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． Ⅰ求； Ⅱ若为边的中点，，，求． 16.本小题分 已知点是圆上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为． Ⅰ求的方程； Ⅱ若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，． Ⅰ求证：； Ⅱ求二面角的正弦值． 18.本小题分 已知函数，设的图象在处的切线为：． Ⅰ若，证明：当时，； Ⅱ若有三个零点，， 求的取值范围； 证明：． 19.本小题分 将个正整数构成的数列，，，变为，，，，，，，，，，，，，，，的操作称为一次“扩展”现对数列，，，，扩展次． Ⅰ若，，写出扩展后的数列； Ⅱ设扩展次后得到的数列所有项之和为，证明：； Ⅲ从第次扩展后的数列中任取一项，求取到数字的概率． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：Ⅰ已知，由正弦定理为外接圆半径， 可得，，， 将其代入原式得：， 化简后为即，根据余弦定理， 把代入可得，因为，所以； Ⅱ因为是中点，则有，两边平方得， 即， 已知，，，所以， 代入上式可得：，即， 等式两边同时乘以得：，移项可得， 根据余弦定理，把，，， 代入得：，所以． 16.解：Ⅰ设，，因为为在轴上的射影，所以， 因为，则， 所以，即， 又因为在圆上， 将代入圆方程得， 所以的方程为； Ⅱ证明：因为直线的斜率为，则设直线的方程为，则， 联立，消去得， 设，，则，． ， ． 所以 ， 所以为定值． 17.解：Ⅰ证明：连接，因为底面是等腰梯形，，，，， 由余弦定理可得， 所以，则， 因为，，， 所以，则， 因为，、平面， ... ...
