2024-2025学年江苏省南京师大附中高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足，则( ) A. B. C. D. 3.在中，若，则( ) A. B. C. D. 4.在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的面积为( ) A. B. C. D. 5.若，，则( ) A. B. C. D. 6.( ) A. B. C. D. 7.已知正八边形的边长为，则( ) A. B. C. D. 8.如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，是复数，则下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是( ) A. 当时，在上的投影向量为 B. 当时， C. 的最小值为 D. 的最大值为 11.在中，内角，，所对应的边分别为，，，已知，且，，为连续正整数，则( ) A. 存在唯一的，使得 B. 存在无数个，使得 C. 存在唯一的，使得 D. 不存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在中，为的中点，为的中点若，则的值为_____． 13.若是第一象限角，且，则的值为_____． 14.设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设为实数，已知复数． 若对应的点在第一象限，求的取值范围； 若为实数，且与复数相等，求的值． 16.本小题分 在中，已知，，和的夹角为，且． 若为的中点，求； 已知，若，求实数的值． 17.本小题分 已知向量，，函数． 若，求的最小值； 若，，求的值． 18.本小题分 在中，内角，，的对边分别为，，已知． 若，求； 求的取值范围； 设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值． 19.本小题分 正弦型函数被广泛运用于信号处理领域不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域如音频处理、图像处理、通信系统等中发挥着关键作用． 已知函数，，． 求的值； 设函数，求的值域； 本小题你有两个选择，请选择其中一个作答： 判断函数的零点个数，并说明理由； 判断函数的零点个数，并说明理由． 注：选择解答的总分比选择解答的总分少分 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：为实数，已知复数． 对应的点在第一象限， 可得，解得， 故的取值范围为； 为实数，且与复数相等， 可得，解得或． 故或． 16.解：中，已知，，和的夹角为，且． 则， 又为的中点， 则 ； 已知， 则 ， 又， 则， 即． 17.解：由题意， ， 因为，所以， 因此当，即时， 取得最小值； 因为，所以，即， 因为，所以， 若，则，不合题意， 所以，故， 所以， 则． 18.解：因为， 所以，即， 由正弦定理得，， 若，则，所以， 故． 由知， 由余弦定理知，， 所以， 由正弦定理知， 而， 所以， 因为，，所以，即， 由正弦定理得，， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是． 由，，知，， 所以 ． 19.解：因为， 所以； 因为， 所以， 令，则， 即， 所以值域为； 选择：的零点个数为，理由如下： ， 因为，， 所以 ， 因此 ． 又的， 所以， 令， 则， 又， 所以的零点为， 即的零点个数为； 选择，的零点个数为，理由如下： 因为， 故只要关注时，的零点个数， 根据和差化积公式可得， ， 由，得， 即， 故时，恒大于零，即无零点， 根据对称性得时恒小于零，即无零点， 当时，， 综上所述，在上有且仅有唯一的零点， 所以的零点个数为 ... ...
