上海市市西中学2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市市西中学高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.下列说法中正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则夹角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 3.在中，，记的面积为，若，判断的形状为( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 4.对于函数，有下列四个命题 任取，，都有； 为正整数，对一切恒成立； 若关于的方程有且只有个不同的实根，，则； 函数有个零点， 上述四个命题中正确的个数为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.函数的最小正周期为_____． 6.已知为第二象限角，角的终边上一点的坐标为，则 _____． 7.半径为的扇形面积为，则此扇形的弧长为_____． 8.设、为夹角为的单位向量，则 _____． 9.函数在上的单调递减区间为_____． 10.中，若：：：：，则该三角形的最大角为_____． 11.函数图像的对称中心的坐标是_____． 12.，，若，且，求 _____． 13.在中，为边上不同于，的任意一点，点为线段的三等分点靠近点，若，则的最小值为_____． 14.如图为函数的部分图象，则的值为_____． 15.已知，若关于的方程，对任意的都至少有个不同解，则实数的取值范围是_____． 16.对任意两个非零的平面向量、，定义若平面向量、满足的夹角，且和都在集合中，则 _____． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知两个不共线的平面向量，记． 若，求的值． 若时，，求的夹角． 18.本小题分 已知，，，． Ⅰ求的值； Ⅱ求的值，并确定的大小． 19.本小题分 如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口的两条公路，之间建造三角形的花园，已知为，花园的另外两个顶点分别在，两点沿着公路且异于点，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道，已知观景通道长，记． 试用表示出，，以及此花园的面积． 为多少时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 20.本小题分 已知函数，其中，，． 当，，时，求的值域． 当，，时，求的最大值． 当，时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位得到函数，求解不等式． 21.本小题分 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． 判断函数，是否具有性质；直接写出结论 已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点求出的取值范围． 设函数具有性质，且在区间上的值域为函数，满足，且在区间上有且只有一个零点求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.解：因为，不共线，所以为非零向量， 所以由可知：存在，使得， 即， 所以，解得； 当时，，又， 由，， 可得， 解得， 所以， 又，所以， 所以的夹角为． 18.解：Ⅰ因为，， 所以，， 又，， 所以， 所以； Ⅱ由Ⅰ可知，， 所以， 所以， 因为， 所以． 19.解：在中，， 由正弦定理可知，， 则，， 面积． 因为， 由已知及余弦定理，可得， 当且仅当时取等号， 则，即，此时，，为等腰三角形，， ． 20.解：因为， 当，，时，， 因为， 所以， 故的值域为； 因为， 当，，时，， 可得， 令， 由可知， 则， 当时，， 故的最大值为； 当，时，，其中， 由题意， 解得， 所以， 又， 又，可得， 故，即， 所以的解集为． 21.解：因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为， 则， 又， 所以， 故具有性质． 所以函数，具有性质； 因为函数具有性质， 即恒成立， 令，得， ， 所以， 所以，， 又因为，所以，， 所以； 若，不妨设，由， 得， 只要充分大时，将大于，而 ... ...