2024-2025学年江苏省淮安市十校联盟高一下4月期中学情调查测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省淮安市十校联盟高一下4月期中学情调查测试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为( ) A. B. C. D. 2.已知平面向量，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 3.如图，在正方体中，，分别为的中点，异面直线与所成角为( ) A. B. C. D. 4.，，，则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 5.已知，为第一象限角则( ) A. B. C. D. 6.在三角形中，，，，则( ) A. B. C. D. 7.若，则( ) A. B. C. D. 8.已知是以为直角的直角三角形．和是以、为边长的等边三角形，，，，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是( ) A. 三点共线 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 四点共面 10.如图，在中，已知点在边上，，，，则下列说法正确的有( ) A. B. C. D. 11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是( ) A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 当时，面积的最大值为 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图是梯形按照斜二测画出的直观图，其中，，，则原梯形的面积为 ． 13.在中，，且，则外接圆半径为_____ 14.天文学家设计了一种方案可以测定流星的高度如图，将地球看成一个球，半径为，两个观察者在地球上，两地同时观察到一颗流星，仰角分别是和表示当地的地平线，由平面几何相关知识，，，，设的长度为，，，则流星高度为 流星高度为减去地球半径，结果用表示 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数自然对数的底数，圆周率，两个单位虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题： 将复数写成为虚数单位的形式 求的最大值． 16.本小题分 如图，在梯形中，为的中点，，，，． 求； 求与夹角的余弦值． 17.本小题分 已知，，， 求和的值； 求的值． 18.本小题分 已知，，，，，分别为的内角，，的对边，且． 若，，判断的形状． 若，求的面积最大值． 19.本小题分 已知，，分别为的内角，，的对边，且． 求角的值； 若，且的面积为，求的值； 如图，若点在内部，满足，且的面积为，设，求的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：； ， 当，即，时，的最大值为． 16.解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设， 又在梯形中，为的中点，，，，， 则，，，，， 则； 由可得，， 则，，， 则与夹角的余弦值为． 17.解：，， 又，， 由，得， ； 由，得， 又，， ． 则． ，， 则， ． 由知，， ． 18.解：依题意 ， 又因为， 所以 ，， ， 在中，由余弦定理可得：， 将，代入得：， 解得， 此时， 故，时为直角三角形； 由余弦定理可得， ， 即，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 的面积最大值为． 19.解：在中，由正弦定理：，， ， 又，， ，， 在中，由余弦定理：， 在中，由正弦定理：， ； 因为的面积为，故，所以， 设，则，，， 在中，由正弦定理得， 所以，， 在中，由正弦定理得， 所以，， 所以 ... ...