四川省绵阳市三台中学2025届高三下学期四月月考数学试卷（含答案）

四川省绵阳市三台中学2025届高三下学期四月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.设复数在复平面内对应的点为，若，则( ) A. B. C. D. 3.的展开式中的系数为 A. B. C. D. 4.四羊方尊又称四羊尊为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台上、下底面的边长分别为，高为，则四羊方尊的容积约为( ) A. B. C. D. 5.若是偶函数，则( ) A. B. C. D. 6.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 7.若，，则( ) A. B. C. D. 8.已知正四面体，若平面内有一动点到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是( ) A. 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( ) A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于中心对称 10.已知抛物线与圆相交于，，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是( ) A. B. 圆与抛物线的准线有公共点 C. 在抛物线上存在关于直线对称的两点 D. 线段的垂直平分线与抛物线交于，，则有 11.已知函数，若函数有个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 个零点之和是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 ． 13.市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长单位：小时，得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第百分位数为 ． 14.在三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在等差数列中，，，数列的前项和为，且． 求数列和的通项公式； 若，求数列的前项和． 16.本小题分 袋中装有大小相同的个红球，个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；若摸到白球或摸球次数达到次时本轮摸球游戏结束． 求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过次的概率； 若摸出次红球计分，摸出次白球记分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望． 17.本小题分 已知椭圆：的离心率为，且经过，直线交于，两点，直线，斜率之和为 求椭圆的方程； 证明：直线过定点． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为棱的中点，四面体的体积为的面积为． 求证：平面； 求点到平面的距离； 若，平面平面，点为棱上一点，当平面与平面夹角为时，求的长． 19.本小题分 已知函数 判断曲线是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明； 若在定义域内单调递增，求的取值范围； 若函数有两个零点，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：设等差数列的公差为， 则，解得， 所以，， 数列的前项和为，且， 当时，则有， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则． 解：因为，则， 可得， 得 ， 故． 16.设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过次为事件，记第次摸到红球为事件， 则事件， 显然、、彼此互斥， 由互斥事件概率的加法公式： 因为每次摸到红球后放回，所以，，， 所以，． 依题意，的可能取值为，，，， ， ， ， ， 所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分的分布列为： ． 17.设椭圆半焦距为，则依题意有 所以，所以， 所以椭圆的方程为 ... ...