湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期月考卷（八）数学试卷（含答案）

湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期月考卷（八） 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若复数满足，则( ) A. B. C. D. 3.在中，点是的中点，点在上，若，则( ) A. B. C. D. 4.在的展开式中，的系数是( ) A. B. C. D. 5.已知，则( ) A. B. C. D. 6.正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是( ) A. B. C. D. 7.设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是( ) A. B. C. D. 8.雅礼中学科技社成员设计的一款机器人，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．假设该机器人接到六个方向指令是等可能的，现向机器人随机发次方向指令，它按指令依次做了次伸展，其手臂回到原来位置的概率为( ) A. B. C. D. 以上都不对 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是( ) A. 线性相关系数越小，两个变量的线性相关性越弱 B. 在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 C. 独立性检验方法不适用于普查数据 D. 已知随机变量，若，则 10.设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 11.已知曲线，，则下列选项正确的是( ) A. ，使得曲线为圆 B. ，曲线都关于点中心对称 C. 当时， D. 当时，直线是曲线的一条渐近线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.写出一个同时具有下列性质的函数 ．；在上是增函数． 13.已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为 ． 14.数列的前项和为，且满足，，则可能的不同取值的个数为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点． 证明：平面； 求平面与平面夹角的余弦值． 16.本小题分 在中，角、、所对应的边分别为、、，已知． 求角； 若，所在平面内有一点满足，且平分，设． 求面积表达式； 确定面积的取值范围． 17.本小题分 椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，，设直线的斜率为，且． 求椭圆的方程； 若为椭圆上一点，且为的重心，求． 18.本小题分 已知函数． 若在区间上单调，求实数的取值范围； 若函数有两个不同的零点． 求实数的取值范围； 若恒成立，求证：． 19.本小题分 已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局． 如果约定先净胜两局者获胜，求恰好局结束比赛的概率； 如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束甲、乙有一方先净胜三局时需进行的局数为，期望为． 求甲获胜的概率； 求． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.答案不唯一，形如都可以 13. 14. 15.在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，， 以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，点是棱上靠近端的三等分点 则． ， 设平面的一个法向量为， 则，即 令，得，则， 又，可得， 因为平面，所以平面． 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 由知，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 16.由， 即，即， 所以，即，所以， 又，所以． 由题知，又，， 在中，，故， 则， 由正弦定理有，，则， 故 ... ...