江苏省华罗庚中学2025届高三下学期第四次阶段检测数学试卷（创新班）（含答案）

江苏省华罗庚中学2025届高三下学期第四次阶段检测 数学试卷（创新班） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.设，则( ) A. B. C. D. 3.“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比( ) A. 或 B. 或 C. D. 5.若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 6.设函数若无最大值，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知，，则( ) A. B. C. D. 8.某学生进行投篮训练，采取积分制，有次投篮机会，投中一次得分，不中得分，若连续投中两次则额外加分，连续投中三次额外加分，以此类推，连续投中七次额外加分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得分的概率是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知一组数据：，若去掉和，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是( ) A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第百分位数不变 10.已知，，则下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11.如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是( ) A. 当时，的值最小 B. 当时， C. 若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D. 直线与平面所成角的正弦值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知为常数的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为 13.圆台的高为，体积为，两底面圆的半径比为，则母线和轴的夹角的正切值为 14.若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，． 求证：平面平面； 求平面与平面的夹角的余弦值． 16.本小题分 已知函数，． 若，求的单调区间； 若，求的取值范围． 17.本小题分 中，，，，点，是线段上两点包括端点，． 当时，求的周长； 设，当的面积为时，求的值． 18.本小题分 记为数列的前项积，已知 证明：数列是等差数列； 若将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列求数列的前项和 已知等比数列的首项为，公比为若对任意的恒成立，求的值． 19.本小题分 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族不包括直线轴，直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线． 圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式； 若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； 在的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 取的中点为，连接， 因为是边长为的等边三角形，所以，， 在直角三角形中，，为中点，所以， 又，所以， 所以，即，又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以平面平面． 由知过作的平行线作为轴，分别为轴， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即 令，可得， 设平面的法向量为， 则，即 令，可得， 设平面与平面的夹角为， 则． 16.当时， 时，，时，； 的单调增区间为，单调减区间为 时，，时， 又， 令 则，显然单调递减，且， 必然存在唯一使得 当，，单调递增， 当，，单调递减 由于时，，成立 当时，单调递减，且，因此成立 综上，成立的范围为 17.，，， ，则， 在中，由 ... ...