上海市长宁区2025届高三二模考试数学试卷（含答案）

上海市长宁区2025届高三二模考试数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知非零实数，则下列命题中成立的是 ． A. B. C. D. 2.某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入千元和书籍销量百本的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法不正确的是( ) A. 变量、之间呈正相关 B. 预测当宣传投入千元时，书籍销量约为本 C. D. 拟合误差 3.如图，等腰直角三角形中，，点是边的中点，点是边上一点不与重合，将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，连接，设为二面角大小，在翻折过程中，下列说法当中不正确的是( ) A. 存在点和，使得 B. 存在点和，使得 C. 存在点和，使得 D. 存在点和，使得 4.椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： 若是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与轴的交点为，则 若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是( ) A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.已知集合，则 ． 6.复数，，则 ． 7.已知数列是等差数列，且，则其前项和 ． 8.某水果店的苹果，来自基地，来自基地，基地苹果的新鲜率为，基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 9.为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平 10.已知随机变量的分布是，则其方差 ． 11.已知，，用表示为 ． 12.顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示 ． 13.一项过关游戏的规则规定：在第关要投掷骰子次，如果这次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 ． 14.已知点、分别是三角形的边、的中点，且，则三角形的面积的取值范围是 ． 15.现有一块正四面体木料，其边长为，现需要将木料进行切割，要求切割后底面上任意一点到顶点的距离不大于，则切割好后，木料体积的最大值是 结果保留 16.已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知向量． 求函数的单调递减区间； 若函数在区间上恰有个零点，求实数的取值范围． 18.本小题分 如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点． 求证：平面平面； 求点到平面的距离以及三棱锥的体积． 19.本小题分 为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满元含元可抽奖一次，抽奖方案有两种顾客只能选择其中的一种 方案：从装有个红球，个蓝球形状、大小完全相同的抽奖盒中，有放回地依次摸出个球．每摸出次红球，立减元，若次都摸到红球，则额外再减元即总共减元； 方案：从装有个红球，个蓝球形状、大小完全相同的抽奖盒中，不放回地依次摸出个球．中奖规则为：若摸出个红球，享受免单优惠；若摸出个红球，则打折；其余情况无优惠． 顾客选择抽奖方案，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； 顾客恰好消费了元， 若他选择抽奖方案，求他实付金额的分布列和期望结果精确到； 试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理． 20. ... ...