湖南省长沙市雅礼中学2025届高三4月综合自主测试数学试卷（提升卷）（含答案）

湖南省长沙市雅礼中学2025届高三4月综合自主测试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 2.已知函数的导函数为，的图象如图所示，则( ) A. B. C. D. 3.圆与圆的公切线有且仅有( ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 4.语文老师要从篇课文中随抽篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中篇才能及格．某位同学只能背诵其中的篇，则他能及格的概率是( ) A. B. C. D. 5.如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 6.设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则( ) A. B. C. D. 7.当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形图是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形图中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知随机变量和满足：，且，若的分布列如下表，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 10.【多选】如图，飘带函数的图象类似于飘带，已知图象上两个点，关于原点对称点的横坐标，过点，分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为，，，将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作；将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作则下列结论正确的是( ) A. B. 若，当图象沿轴折叠时， C. D. 若，当图象沿轴折叠时， 11.若图的关联结点加黑的粗点构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图下列四个图为偶图的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是关于的方程的一个根，则 ． 13.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是 ． 14.数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数在点处的切线与轴平行． 求； 求的单调区间和极值． 16.本小题分 已知抛物线经过点． 求的值和抛物线的准线方程； 已知直线与抛物线交于两点，求． 17.本小题分 在中，角的对边分别为，若． 求； 若，证明：是直角三角形． 若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 18.本小题分 在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面如图所示，则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为． 若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值； 若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程； 若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足． 证明：当时，为定值，并求出该定值． 19.本小题分 若数列满足，则称数列为项数列，集合是由所有项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量． 若，求随机变量的分布列与数学期望； 求，其中且． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为，所以， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以． 由可知，所以， 的定义域为：， 令，解得舍去或 若时，，单调递减； 若时，，单调递增． ... ...