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课件网) 4.5.1 函数的零点与方程的解 第四章 指数函数与对数函数 数学 学习目标 ①了解函数的零点、方程的根、函数图象与轴的公共点的横坐标之间的联系． ②会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间． ③能借助函数单调性及图象判断零点的个数． 重点难点 重点： 函数零点与方程的解之间的关系；求函数零点的方法；利用函数零点存在定理确定连续函数零点的大致区间． 难点： 发现与理解方程的解与函数零点的关系；探究函数零点存在定理的认知过程． 课堂导入 情境1 中外历史上的方程求解 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法,但这一切却经历了相当漫长的岁月． 约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法． 九章算术 课堂导入 情境1 中外历史上的方程求解 13世纪,南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法． 11世纪,北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法． 课堂导入 情境1 中外历史上的方程求解 国外数学家对方程求解亦有很多研究．9世纪以后,先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法． 由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数y=f(x)的零点． 课堂探究 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程,知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点．例如,方程x2 5x+6=0的根为x1=2,x2=3,则二次函数f(x)=x2 5x+6的零点就是2和3． y 6 3 x 2 在图象上显示为： O 课堂探究 画出下列函数的图象： (1) f(x)=x1 f(x)=x22x+1 (2) f(x)= f(x)= (3) f(x)=2x1 f(x)=log2x 当函数和x轴有交点时,其交点横坐标与方程 f(x)=0 的解有什么关系 再任意画几个函数的图象,观察其图象,看看其交点横坐标与相应方程 f(x)=0 的解有什么关系 课堂探究 探究一 函数的零点 零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点． 函数的“零点”是点吗 提示：不是．函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数解,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 等价关系： 方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点 课堂探究 【例题1】 根据零点的定义判断对错与填空． (1)任何函数都有零点． ( ) (2)函数y=x2的零点是(2,0)． ( ) (3)如右图所示,函数f(x)的零点是_____． 解析 (1)错,函数的图象与x轴无公共点的函数没有零点,如y=． (2)错,函数的零点是函数的图象与x轴的公共点的横坐标,而不是公共点． (3)根据图象,函数的图象与x轴的公共点的横坐标是 1,3,所以零点为 1,3． × × 1,3 课堂探究 归纳总结 函数零点的求法 求函数的零点通常有两种方法： 一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点； 二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点． 课堂探究 【跟踪训练1】 求下列函数的零点 (1)f(x)=2x+3； (2)f(x)=2x 4． 解 (1)(方法1)函数f(x)=2x+3的零点就是使2x+3=0的实数x,求该函数的零点就是求方程2x+3=0的实数解．由2x+3=0,得x= , 所以函数f(x)=2x+3的零点是x= ． (方法2)画出函数的图象,如图,函数的图象与x轴公共点的横坐标为 ,则函数f(x)=2x+3的零点为 ． 课堂探究 【跟踪训练1】 求下列函数的零点 (1)f(x)=2x+3； (2)f(x)=2x 4． 解 (2) (方法1)函数f(x)=2x 4的零点就是使2x 4=0的实数x,求该函数的零点就是求方程2x 4=0的实数解．由2x 4=0,得x=2,所以函数f(x)=2x 4的零点是x=2． (方法2)画出函数的图象,如图,函数的图象与x轴公共点的横坐标为2,则函数f(x)=2x 4的零点为2． 课堂探究 探究二 函数零点存在 ... ...
