2.7.1 实际问题中导数的意义&2.7.2 实际问题中的最值问题 课件（共16张PPT） 2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修2

2.7.1 实际问题中导数的意义 &2.7.2 实际问题中的最值问题 北师大版(2019)选择性必修二 1.了解实际问题中导数的意义. 2.能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 例1 物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝12gt2(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2). (1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义； (2)求s′(2)，并解释它的意义. ? 解：(1)当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)， 此时，位移s关于时间t的平均变化率为 它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m. 例1 物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝12gt2(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2). (2)求s′(2)，并解释它的意义. ? (2)∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s). 它表示物体在t＝2 s时的瞬时速度为19.6 m/s. 归纳总结 在物理学中： (1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度. (2)功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数. (3)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数. 解：当x从10件提高到20件时， 总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元. 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量. 例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品 的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝14x2＋60x＋2 050.求当日产量 由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义. ? 例3 如图所示，先有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相同的小正方形，然后做成一个长方形的无盖容器，则容器的容积V m3 立方是截下的小正方形边长x m的函数. (1)写出函数解析式； (2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？ ???? ? 1.2?2???? ? ???? ? 1.2?2???? ? 1.2?2???? ? 例3 容器的容积V m3 立方是截下的小正方形边长x m的函数. (1)写出函数解析式； 解：(1)根据题意可知，容器底面的边长为(1.2?2????)m，高为?????m ，于是 ????=(1.2?2????)2????. ? 又因为显然????的长度必须小于原有正方形铁板的一半，因此00，可解得????<0.2. ? 因此可知????在(0，?0.2]上递增，在[0.2，?0.6)上递减， 故????在????=0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值. 即截去的正方形边长为0.2m时，容器的容积最大. ? 利用导数解决实际问题的一般步骤： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式????=?????(????)，标明自变量的取值范围； (2)求导数 ????′(????)?并解方程????′????=0，即求出函数可能的极值点； (3)比较函数????(????)在区间端点的函数值与极值的大小，得出函数最值； (4)根据实际问题的意义，给出相应答案. ? 归纳总结 例4 已知某种工艺品总成本C元是产量Q件的函数，且 ????=10????2+200????+1000，1≤????≤30. 将Q看成能取区间[1， 30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？ ? 解：记平均成本为????????元，则 ???????? =???????? =10????2+200????+1000????= 10????+1000????+200. 因为10，可解得????>10. 因此可知????????在[1 ... ...