1.3 线段的垂直平分线 【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】 1.如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 2.如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 3.如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ． 4.如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm． 【题型2 由垂直平分线的性质求周长】 1.如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ） A．18 B．14 C．17 D．19 2.如图，在中，，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，则的周长是（ ） A． B．10 C．12 D． 3.如图，在中，．的周长为6，则的周长是 ． 4.如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是 ． 【题型3 由垂直平分线的性质求角度】 1.如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（ ） A．145° B．150° C．160° D．165° 2.如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ） A．40° B．50° C．80° D．100° 3.在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4.如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【题型4 由垂直平分线的性质求最值】 1.如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.如图，的周长为30，，作边的垂直平分线分别交，于点．连接，若点是直线上的一个动点，则周长的最小值为 ． 3.如图，在中，，D为边的中点，点E、F分别是边、上的点．将沿直线翻折，使点A与点C重合．点P是直线上的任意一点，连接、．若，的面积为9．则周长的最小值为 ． 4. 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足为点C，，点P是直线上任意一点． 求证： 分析图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在中，的垂直平分线交与点N，交于点M，连接，若，的周长是． ①求的长 ②点P是直线上一动点，在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时的周长；若不存在，说明理由． 【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 1.如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线） 2.如图，，，点在的垂直平分线上. （1）线段、、三者之间的长度有什么关系？ （2）线段与有怎样的关系呢？ 3.如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你判断与的大小关系，并说明理由． 4.如图，中，于点D，于点E，与交于点F． (1)求证：； (2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：． 【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】 1.如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 2.如图，分别是的中点，，垂足为，垂足为．求证：． 3.如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证： (1)CB平分； (2)． 4.如图，在中，平分，于点，交于点，交于 ... ...
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